図、ヒント、詳しい解答つきの無料の正規分布練習問題。毎回新しい数値で、3 つのレベル：片側の裾の面積, 2 つの値の間の面積, パーセンタイル。
試験の得点は、平均 65 点、標準偏差 10 点 の正規分布に従います。 67.5 点 より大きい割合はいくらですか？P(X > x) を小数で求めなさい。
お見事です。次の問題はいかがですか？次の問題に進みますか？ すべてのトピックで、毎日 5 問の新しい問題。
事前に学ぶこと： 記述統計
身長、IQ スコア、機械でつくられる袋の重さなど、多くの量は正規分布に従います。ほとんどの値は真ん中の近くにあり、遠く離れた値はまれです。
グラフは左右対称の釣り鐘型です。2 つの数をもちます：頂点がある平均 μ と、幅を決める標準偏差 σ です。
重要な考え方：確率は曲線の下の面積です。全体の面積は 1 です。色のついた左半分の面積は 0.5 なので、すべての値の半分が平均より下にあります。
値のおよそ 68% は平均から 1σ 以内にあり、およそ 95% は 2σ 以内にあります。
答え: 0.5. 曲線は平均について対称なので、σ にかかわらず、面積のちょうど半分が μ より下にあります。0.68 は、両側の 1σ 以内の面積です。
値 x を z スコアに換算すると、どの正規分布も同じ標準正規曲線（平均 0、σ = 1）になります。
表は Φ(z)、つまり z の左側の面積を与えます。たとえば Φ(1.2) = 0.8849 なので、値の 88.49% が z = 1.2 より下にあります。
よく出てくる値：Φ(1) = 0.8413、Φ(1.5) = 0.9332、Φ(2) = 0.9772。
答え: 0.1151. 表は左側の面積を与えます。右側の面積は 1 − 0.8849 = 0.1151 です。0.8849 をそのまま使うと、間違った裾を読んでいます。
2 つの値の間の面積には、2 つの左側の面積を引き算します：上の値より下のすべてから、下の値より下のすべてを引きます。
パーセンタイルは逆に進みます。90 パーセンタイルは、その左側に面積の 90% がある値です。
50% より下のパーセンタイルでは、z は負です。10 パーセンタイルの z は −1.2816 です。
答え: 112.6. x = 100 + 0.8416 · 15 = 112.6 です。マイナスを使うと 87.4（20 パーセンタイル）になり、100.8 は σ をかけ忘れた値です。
すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。
IQ スコアは、平均 100、標準偏差 15 の正規分布に従います。91 と 121 の間にある割合 P はいくらですか？
色のついた面積は、真ん中と、右側のより多くをカバーします。0.5 より少し上の数になると予想されます。
スケッチが予想したとおり、0.5 より少し上です。
P ≈ 0.645：スコアの約 64.5% が 91 と 121 の間にあります。
答え: 0.9332. z = (50 − 65)/10 = −1.5 で、P(X > 50) = 1 − Φ(−1.5) = 0.9332 です。0.0668 は 50 より下の面積で、間違った裾です。ほとんどの学生は 50 点を超えるので、答えは大きくなければなりません。
必ず先にスケッチしましょう。10 秒のスケッチで、裾の間違いのほとんどを防げます。
配達時間は、平均 32 min、標準偏差 6 min の正規分布に従います。 36.8 min より大きい割合はいくらですか？P(X > x) を小数で求めなさい。
求めるもの： P(X > x)
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
これは 21.19% です。
X は平均 250 g、標準偏差 4 g の正規分布に従い、Y は X と独立で、平均 500 g、標準偏差 9 g の正規分布に従います。X + Y が 769.7 g を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
求めるもの： P
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
成人男性の身長は、平均 178 cm、標準偏差 7 cm の正規分布に従います。全体の 20% がそれより下にある値 x（第 20 パーセンタイル）を求めなさい。
求めるもの： x (cm)
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
身長、IQ スコア、機械でつくられる袋の重さなど、多くの量は正規分布に従います。ほとんどの値は真ん中の近くにあり、遠く離れた値はまれです。
グラフは左右対称の釣り鐘型です。2 つの数をもちます：頂点がある平均 μ と、幅を決める標準偏差 σ です。
問題ごとに数値が変わるので、答えではなく解き方が身につきます。 行き詰まったら、まず小さなヒントを開き、必要なときだけ詳しい解説を見ましょう。