記述統計：ステップごとの解答つき練習問題

1中心：平均値と中央値

記述統計は、データと呼ばれる数の並びを、いくつかの値で要約します。最初の問いは：中心はどこか、です。

平均値は普通の平均です：すべての値を足して、その個数 n で割ります。

記号 Σ は「すべて足し合わせる」という意味で、x̄ は「エックスバー」と読みます。3、5、10 の平均は 18/3 = 6 です。

中央値は、データを小さい順に並べ替えたあとの、真ん中の値です。

• n が奇数：中央値は真ん中の 1 つの値です。3、5、10 では 5 です。
• n が偶数：中央値は、真ん中の 2 つの値の平均です。

1 つの極端な値である外れ値は、平均値をそちらへ引っ張りますが、中央値はほとんど動かしません。所得が中央値で要約されることが多いのは、そのためです。

2ばらつき：標準偏差

2 つのデータセットが、同じ平均でもばらつきが大きく異なることがあります。標準偏差 s は、値が平均から典型的にどれだけ離れているかを測ります。

各値には偏差 x − x̄ があります。偏差は足すと 0 になるので、先に 2 乗して、すべて正にします。

これは標本標準偏差です：n ではなく n − 1 で割ります。s の 2 乗は分散と呼ばれます。

2、4、6 の場合：平均は 4、偏差は −2、0、2、2 乗の和は 8、8/2 = 4、そして s = √4 = 2 です。

3z スコアと正規分布

身長や試験の点数など、多くの測定値は釣り鐘型の曲線、正規分布に従います。その中心は平均 μ、幅は標準偏差 σ です。

z スコアは、値が平均から標準偏差いくつ分離れているかを表します。

μ = 70、σ = 10 のとき、74 点の z は 4/10 = 0.4 です。z が負なら、その値は平均より下にあります。

68–95–99.7 の法則：値のおよそ 68% は平均から 1σ 以内に、95% は 2σ 以内に、99.7% は 3σ 以内にあります。

μ = 50、σ = 5 のとき、値 60 は z = 2 です。約 95% が 40 から 60 の間にあるので、約 2.5% が 60 より上にあります。z 表は正確な値 0.0228 を与えます。

4ステップごとの方法

1. データを一列に書いて、n を数えます。
2. 平均値：すべてを足して n で割ります。
3. 中央値：まず並べ替え、次に真ん中の値、または真ん中の 2 つの値の平均を取ります。
4. 標準偏差：各値から平均を引き、2 乗し、足し、n − 1 で割り、平方根を取ります。
5. z スコア：μ を引き、σ で割ります。そのあと、割合を求めるには 68–95–99.7 の法則か z 表を使います。

x、x − x̄、(x − x̄)² の列をもつ表をつくると、標準偏差の計算がすっきり整理できます。

5例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

6よくある間違い

• 並べ替えずに、リストの真ん中を取ること。
• 標本標準偏差で、n − 1 ではなく n で割ること。
• 最後に平方根を忘れること。s ではなく分散が出てしまいます。
• z スコアの符号を間違えること：平均より下の値は、z が負です。
• z スコアで σ で割るのを忘れること。

7試験問題の例

• やさしい：短いデータの並びの平均値または中央値。
• ふつう：5 個か 6 個の値の標本標準偏差。n − 1 で割ります。
• むずかしい：正規分布。z スコア、または与えられた値より上や下にある値の割合を求めます。

手早い確認：平均値と中央値は最小値と最大値の間にあり、s は決して負になりません。