行列と行列式：ステップごとの解答つき練習問題

1行列と 2×2 の行列式

行列は、行と列に並べた数の表です。2 行 3 列の行列は 2×3 行列と呼びます：先に行、次に列です。

技術者は、多くの方程式を一度に書くために行列を使います。連立方程式 2x + y = 5、x − y = 1 は、その係数の行列 [2 1; 1 −1] として記憶されます。

正方行列には特別な数があり、行列式と呼んで det A と書きます。2×2 行列では、一方の対角線の積から、もう一方の対角線の積を引いたものです。

[3 1; 2 4] の行列式は 3·4 − 1·2 = 10 です。

det A = 0 なら、その行列には逆行列がなく、連立方程式にはただ 1 つの解がありません。

23×3 の行列式と積

3×3 行列では、1 行目に沿って展開します。各成分に、その小行列式を掛けます。その成分の行と列を消したときに残る 2×2 の行列式です。

符号は 1 行目に沿って + − + となります。この符号のパターンが、いちばん忘れやすい部分です。

行列の積 AB は、A の行と B の列からつくられます。i 行 j 列の成分は、A の i 行と B の j 列を、対応する成分どうし掛けて足したものです。

積が存在するのは、A の列数が B の行数と等しいときだけです。一般に AB は BA と同じではありません。

3固有値と連立方程式

A の固有値 λ は、あるベクトル v ≠ 0 に対して A·v = λ·v となる数です。行列はそのベクトルを引き伸ばすだけで、回転させません。

固有値は特性方程式から求めます。ここで I は単位行列 [1 0; 0 1] です。

2×2 行列では、これは 2 次方程式になります。その 1 次の係数はトレース a + d、定数項は det A です：

[4 1; 2 3] では：λ² − 7λ + 10 = 0 なので (λ − 2)(λ − 5) = 0 となり、固有値は 2 と 5 です。

クラメルの公式は、行列式で連立方程式を解きます。A の i 列を右辺で置き換えて A_i を得ると、x_i = det A_i / det A です。

2x + y = 5、x − y = 1 では：det A = −3、det A_x = 5·(−1) − 1·1 = −6 なので、x = −6/−3 = 2。

4ステップごとの方法

1. すべてのマイナス記号を含め、行列を慎重に書き写します。
2. 2×2 の行列式：ad − bc。
3. 3×3 の行列式：1 行目の各成分について、その行と列を消して 2×2 の小行列式を求めます。
4. 符号 + − + で組み合わせます：a₁₁M₁₁ − a₁₂M₁₂ + a₁₃M₁₃。
5. 固有値：λ² − (a + d)λ + det A = 0 と書き、2 次方程式を解きます。
6. 確認：すべて 0 の行や、等しい 2 つの行があれば、常に det A = 0 です。

ヒント：0 が多い行または列に沿って展開します。0 の成分があるたびに、小行列式が 1 つ省けます。

5例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

6よくある間違い

• 3×3 の展開で、中央の項のマイナス記号を忘れる。
• ad − bc ではなく、bc − ad を計算する。
• 成分が負のときにマイナス記号を落とす：−2 · −3 は +6 です。
• 行列を、行と列の積ではなく、成分ごとに掛ける。
• 特性方程式を解かずに、トレースや対角成分を固有値とする。

7試験問題の例

• やさしい：2×2 行列の行列式。負の成分を含むことも多くあります。ad − bc を使います。
• ふつう：3×3 の行列式、または行列の積。1 行目に沿って、+ − + で展開します。
• むずかしい：2×2 行列の固有値、またはクラメルの公式による 2×2 連立方程式の未知数 1 つ。

固有値の簡単な確認：固有値の和はトレース a + d に、積は det A に等しくなければなりません。