微分方程式やさしい
方程式 y″ + 4y′ + 3y = 0 について、特性方程式の根のうち 0 に最も近いもの r を求めなさい。それが解の減衰の遅さを決めます。
y″ + 4y′ + 3y = 0
求めるもの： r
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- y = ert を代入します。
- r² + 4r + 3 = 0.
- 因数分解するか、解の公式を使います。
答えとステップごとの解答を表示
2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = ert とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·er₁t + B·er₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·ert（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 の形に書くと、ωn は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。
固有方程式
r² + 4r + 3 = (r + 1)(r + 3) = 0
根
r = −1, r = −3
0 に最も近い: r = −1
答え
r = −1
一般解は y = A·e−1t + B·e−3t です。