数値計算法：練習問題と試験問題

公式のない答えの計算：二分法とニュートン–ラフソン法による方程式の解、表の補間、台形公式とシンプソンの公式による数値積分、オイラー法・ホイン法・ルンゲ–クッタ法による微分方程式を扱います。試験では、表を使った数回の反復と、誤差の大きさが問われます。

この科目を無料で練習するこの科目を練習する模擬試験を受ける毎日 5 問まで無料。カード登録は不要です。

直前対策パック（PDF）公式集、解法のステップ、完全な解答つきの演習問題。そのまま印刷できます。

この科目のトピック

数値計算法の試験のコツ

各反復値は少なくとも有効数字 6 桁を保ち、丸めるのは最終的な答えだけにしましょう。
何かを足す前に、値の表の下に積分公式の重みを書きましょう。
誤差の説明にはテイラー多項式を使いましょう：オイラー法の誤差は h に、シンプソンの公式の誤差は h⁴ に比例します。

解答例

数値計算法やさしい

二分法は、長さ 4 の区間から始まります。各ステップで区間は半分になります。区間が 0.0001 より短くなるまでに、少なくとも何ステップ n 必要ですか？

b − a = 4ε = 0.0001

求めるもの： n

ヒントを表示

n ステップ後の区間の長さは (b − a)/2ⁿ です。
4/2ⁿ < 0.0001 を解くと、2ⁿ > 40000 です。
n > log₂(40000) = 15.29

答えとステップごとの解答を表示

方程式の解法と補間：二分法は、f の符号が変わる区間 [a, b] を保ちます。各ステップで中点 c = (a + b)/2 を取り、符号がなお変わる側の半分を残すので、n ステップ後の区間の幅は (b − a)/2ⁿ です。ニュートン–ラフソン法は、接線を軸まで辿ります：x_n+1 = x_n − f(x_n)/f′(x_n)。単根の近くでは、1 ステップごとに正しい桁数がおよそ 2 倍になります。表の 2 点の間の線形補間：y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)。

条件

4/2ⁿ < 0.0001 → 2ⁿ > 40000

対数

n > ln(40000)/ln 2 = 15.29

n = 16

確認

2¹⁵ = 32768 < 40000 < 2¹⁶ = 65536

答え

n = 16

数列と級数ふつう

和 S = Σ_k=1^∞ 12/(k(k + 3)) を求めてください。

a_k = 12/(k(k + 3))

求めるもの： S

ヒントを表示

部分分数：1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3))。
最初の数項を書き出しましょう：ほとんどが打ち消し合います（望遠鏡和）。
残るのは (12/3)·(1 + … + 1/3) です。

答えとステップごとの解答を表示

部分分数展開

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

キャンセル

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7.333

答え

S = 7.333

練習のしかた

「この科目を練習する」では、本番の試験のように、すべてのトピックの問題が混ざって出題されます。
問題ごとに数値が変わるので、答えではなく解き方が身につきます。
行き詰まったら、まず小さなヒントを開き、必要なときだけ詳しい解説を見ましょう。
模擬試験には制限時間があり、ヒントはありません。最後にスコアと詳しい振り返りが表示されます。

この科目の計算ツール

行列式と逆行列の計算ツール固有値・固有ベクトルの計算ツール半減期と指数関数的減衰の計算ツール連立 1 次方程式のソルバー（2×2 と 3×3）