数列と級数：ステップごとの解答つき練習問題

1等差数列と等比数列

数列は数の並び a₁, a₂, a₃, … で、級数はその和です。どの試験にも 2 種類が繰り返し登場します。

等差数列は、毎回同じ差 d を加えます：3, 7, 11, 15, … は d = 4 です。

3, 7, 11, … では：a₂₀ = 3 + 19·4 = 79、S₂₀ = 20·(3 + 79)/2 = 820。n − 1 に注意しましょう：第 1 項から第 20 項までは、19 ステップしかありません。

等比数列は、毎回同じ比 r を掛けます：2, 6, 18, … は r = 3 です。

2無限等比級数

2 + 1 + 0.5 + 0.25 + … と項を足し続けると、和は 4 に近づいていきますが、超えることはありません。

|r| < 1 のとき、Sₙ の rⁿ は 0 に小さくなり、無限和が存在します：

ここで a₁ は、その和の最初の項です。Σ_k=2^∞ 8·(1/2)ᵏ では、最初の項は 8·(1/2)² = 2 なので、S = 2/(1 − 1/2) = 4 です。

|r| ≥ 1 のとき、項は小さくならず、級数に和はありません：発散します。

3級数は収束するか？

ほとんどの級数には簡単な和の公式がありませんが、和が有限かどうかは判定できます。次の順序で判定法を使いましょう：

1. 第 n 項判定法：項が 0 に近づかなければ、級数は発散します。Σ k/(k + 1) は、項が 1 に近づくので発散します。
2. 標準的な級数：Σ1/kᵖ が収束するのは p > 1 のときだけです（したがって調和級数 Σ1/k は発散します）。Σrᵏ が収束するのは |r| < 1 のときだけです。
3. 比較判定法：1/(k² + 3) は 1/k² より小さいので、Σ1/(k² + 3) も収束します。
4. 比判定法：L = lim |a_k+1/a_k|。L < 1 なら収束、L > 1 なら発散、L = 1 なら答えは出ません。階乗や k 乗に使います。
5. 交代級数：Σ(−1)ᵏ/k は、項の符号が交互に変わり、0 に減少するので収束します。

例：Σ k/2ᵏ では比は ((k + 1)/k)·(1/2) で、L = 1/2 < 1 に近づくので、収束します。

4べき級数と収束半径

べき級数 Σ c_k(x − x₀)ᵏ は、終わりのない多項式です。中心 x₀ に十分近い x で収束します。

項全体に比判定法を適用すると、収束半径 R が得られます：級数は |x − x₀| < R で収束し、|x − x₀| > R で発散します。

例：Σ xᵏ/(k·3ᵏ) では c_k/c_k+1 = 3(k + 1)/k で、3 に近づきます。したがって R = 3 で、級数は −3 < x < 3 で収束します。

2 つの端点では、判定法は答えを与えません。問題が区間全体を問うなら、別に調べましょう。

5テイラー多項式とマクローリン多項式

点 a の近くでは、滑らかな関数は多項式のように見えます。n 次のテイラー多項式は、a での値と最初の n 個の導関数を一致させます：

a = 0 のものはマクローリン多項式と呼ばれます。次の級数は暗記しましょう：

項を多く取るほど、多項式は長い範囲で関数に近いままです。

6よくある間違いと試験問題

• 第 n 項に、n − 1 ステップではなく n ステップを使ってしまう。
• 和が k = 0 から始まらないのに、間違った最初の項で a/(1 − r) と書いてしまう。
• 項が 0 に近づくからといって、級数が収束すると結論づけてしまう。Σ1/k が反例です。
• テイラー多項式で階乗を忘れる、または sin と cos のマイナス符号を忘れる。
• 誤差評価で、|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! の代わりに |x|ⁿ/n! を使ってしまう。

やさしい：等差数列と等比数列の和。ふつう：収束の判定、比判定法、収束半径。むずかしい：テイラー多項式、その係数、誤差評価。