確率：ステップごとの解答つき練習問題

図、ヒント、詳しい解答つきの無料の確率練習問題。毎回新しい数値で、3 つのレベル：同様に確からしい結果, 数え上げと余事象, 二項分布。

無料の練習問題やさしい
和 ≥ 4サイコロ 1サイコロ 2112345672234567833456789445678910556789101166789101112P = ?

公正なさいころを 2 個振ります。目の和が 4 以上になる確率 P はいくつですか？

さいころ 2 個≥ 4

確率は 0 から 1 の小数で答えます。

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練習する内容

  1. やさしい同様に確からしい結果
  2. ふつう数え上げと余事象
  3. むずかしい二項分布

重要な公式

余事象
P(not A) = 1 − P(A)
加法定理
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

確率をゼロから学ぶ

1確率とは何か

確率は、0 から 1 の間の数で、何かがどれくらい起こりやすいかを表します。0 は決して起こらない、1 は必ず起こることを意味します。

すべての結果が同様に確からしいとき、数えます。

P(A) = A が起こる場合の数 / 起こりうるすべての場合の数

袋に赤 3 個、青 5 個、緑 2 個の、合計 10 個の球が入っています。ランダムに 1 個引くと、P(青) = 5/10 = 0.5 です。

公平なさいころには 6 つの面があるので、P(6) = 1/6 ≈ 0.167、P(偶数) = 3/6 = 0.5 です。

確率はパーセントで書くこともできます：0.5 は 50% です。試験の答えは、たいてい 0 から 1 の間の小数です。

セルフチェック 袋に赤 2 個、青 8 個、緑 4 個の球が入っています。ランダムに 1 個引きます。P(赤) はいくらですか？
  1. 2/12 ≈ 0.167
  2. 2/14 ≈ 0.143
  3. 2/8 = 0.25
  4. 2

答え: 2/14 ≈ 0.143. 球は 2 + 8 + 4 = 14 個あり、そのうち 2 個が赤です：2/14 ≈ 0.143。12 で割るのは、ほかの球だけを数えた値で、合計には赤も含めなければなりません。

2事象を組み合わせる規則

  • 余事象：P(Aでない) = 1 − P(A)。「少なくとも 1 つ」の問題に使います：P(少なくとも 1 つ) = 1 − P(1 つもない)。
  • かつ、独立な事象：かけ算。公平なコイン 2 枚で P(2 枚とも表) = 0.5 · 0.5 = 0.25。
  • または：P(A または B) = P(A) + P(B) − P(A かつ B)。重なりを引いて、二重に数えないようにします。

戻さずに引くと、袋の中身が変わります。赤い球を 1 個取り出したあとは、赤い球が 1 個少なく、全体も 1 個少なくなります。

赤 5 個、青 4 個なら、P(2 個とも赤) = 5/9 · 4/8 = 20/72 ≈ 0.278。

順序が関係ないグループを数えるには、組み合わせを使います。n 個から k 個を選ぶ方法の数は次のとおりです。

C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)

ここで n! = n · (n − 1) · … · 1 です。したがって C(6, 4) = 720 / (24 · 2) = 15 で、6 人から 4 人の委員会をつくる方法は 15 通りです。

セルフチェック 袋に赤 5 個と青 4 個の球が入っています。最初の球を戻さずに 2 個引きます。P(2 個とも赤) はいくらですか？
  1. 0.139
  2. 0.278
  3. 0.309
  4. 0.556

答え: 0.278. 5/9 · 4/8 = 20/72 ≈ 0.278 です。5/9 · 5/9 ≈ 0.309 を使うと、最初の赤い球がもう袋にないことを忘れています。

3二項分布

同じ試行を n 回繰り返す問題があります：5 個の部品を検査する、8 問を当てずっぽうで答える、コインを 3 回投げる。各試行は、ほかの試行と独立に、確率 p で成功します。

すると成功の回数 X は二項分布に従います。

P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
  • pᵏ：k 回の成功。
  • (1 − p)ⁿ⁻ᵏ：n − k 回の失敗。
  • C(n, k)：成功が現れうる異なる順序の数。

「多くとも 1 回」には、P(X = 0) と P(X = 1) を足します。「少なくとも 1 回」には、1 − P(X = 0) を使います。

セルフチェック 公平なコインを 3 回投げます。ちょうど 2 回表が出る確率はいくらですか？
  1. 0.125
  2. 0.25
  3. 0.375
  4. 0.667

答え: 0.375. C(3, 2) · 0.5² · 0.5 = 3 · 0.125 = 0.375 です。C(3, 2) を忘れると 0.125 になりますが、それは HHT のような 1 通りの順序だけで、THH と HTH も数えなければなりません。

4ステップごとの方法

  1. 1 つの結果が何であるか、結果が全部でいくつあるかを書き出します。
  2. 言葉を翻訳します：「かつ」はかけ算、「または」は足し算（重なりを引く）、「でない」は 1 − P。
  3. 「少なくとも 1 つ」には、先に余事象の「1 つもない」を計算します。
  4. 戻さない場合：引くたびに個数を減らします。または、組み合わせで数えます。
  5. 確率 p が一定の、繰り返しの独立な試行：二項の式を使います。
  6. 答えが 0 と 1 の間にあることを確認します。

複数のステップがあるときは、樹形図が役立ちます：枝に沿ってかけ算し、必要な枝を足します。

5例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

例題

袋に赤 4 個と青 6 個の球が入っています。最初の球を戻さずに 2 個引きます。少なくとも 1 個が赤である確率 P はいくらですか？

1

余事象を使う

「少なくとも 1 個が赤」には 3 つの場合があります：赤–赤、赤–青、青–赤。その反対の「赤が 1 個もない」は、青–青の 1 つの場合だけです。

P(少なくとも 1 個が赤) = 1 − P(2 個とも青)
2

1 回目

10 個のうち青は 6 個です。

P(1 個目が青) = 6/10
3

2 回目

青い球が 1 個なくなったので、9 個のうち青は 5 個残っています。

P(2 個とも青) = 6/10 · 5/9 = 30/90 = 1/3
4/10R3/9R12/906/9B24/906/10B4/9R24/905/9B30/90

樹形図では、R は赤い球、B は青い球です。太い枝は青–青です。

4

余事象を取る

P = 1 − 1/3 = 2/3 ≈ 0.667
5

答えを確認する

組み合わせで数えます：C(10, 2) = 45 組あり、そのうち C(6, 2) = 15 が青–青です。15/45 = 1/3 で、先ほどと同じです。

樹形図のほかの 3 つの枝を足しても、12/90 + 24/90 + 24/90 = 60/90 = 2/3 になります。

答え

P = 2/3 ≈ 0.667

6よくある間違い

  • 「少なくとも 1 つ」で、1 − P(1 つもない) を使わずに確率を足すこと。
  • 戻さずに引くとき、個数を減らし忘れること。
  • 二項の式で、係数 C(n, k) を忘れること。
  • 間違った合計で割ること。たとえば、ほかの色だけで割る場合など。
  • 1 より大きい、または 0 より小さい確率を答えること。それは常に誤りのサインです。
セルフチェック 公平なさいころを 2 回振ります。少なくとも 1 回 6 が出る確率はいくらですか？
  1. 1/3 ≈ 0.333
  2. 1/36 ≈ 0.028
  3. 11/36 ≈ 0.306
  4. 25/36 ≈ 0.694

答え: 11/36 ≈ 0.306. 1 − P(6 が出ない) = 1 − (5/6)² = 1 − 25/36 = 11/36 です。1/6 + 1/6 を足すと 1/3 になり、6 が 2 回出る場合を二重に数えています。

7試験問題の例

  • やさしい：同様に確からしい結果。色のついた球の袋から 1 回引く、またはさいころを 1 回振ります。
  • ふつう：数え上げと余事象。C(n, k) を使う委員会、または戻さずに 2 回引くこと。
  • むずかしい：二項分布。ちょうど k 回の成功、または P(X = 0) + P(X = 1) としての「多くとも 1 回」。

答えは、0 と 1 の間の小数で、小数第 3 位または第 4 位に丸めて答えます。

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解答例

例題 1やさしい
xp(x)1?20.2530.1540.250.15

表は X の確率分布を示していますが、確率が 1 つ欠けています。P(X = 1) を求めなさい。

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): ?, 0.25, 0.15, 0.2, 0.15

求めるもの： P(X = 1)

ヒントを表示
  1. 分布のすべての確率の合計は 1 です。
  2. 既知の確率を足します。
  3. P = 1 − 0.75.
答えとステップごとの解答を表示

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

既知の確率の合計

0.25 + 0.15 + 0.2 + 0.15 = 0.75

欠けている確率

P(X = 1) = 1 − 0.75 = 0.25

答え

P(X = 1) = 0.25
例題 2ふつう
xp(x)10.1520.3530.0540.350.15μ = 2.95

示された分布について、X の分散 Var(X) を求めなさい。

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.15, 0.35, 0.05, 0.3, 0.15

求めるもの： Var(X)

ヒントを表示
  1. μ = Σx·p(x) = 2.95.
  2. E(X²) = Σx²·p(x) です。
  3. Var(X) = E(X²) − μ².
答えとステップごとの解答を表示

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 1·0.15 + 2·0.35 + 3·0.05 + 4·0.3 + 5·0.15 = 2.95

2 乗の平均

E(X²) = 1·0.15 + 4·0.35 + 9·0.05 + 16·0.3 + 25·0.15 = 10.55

分散

Var(X) = 10.55 − 2.95² = 1.848

答え

Var(X) = 1.848
例題 3むずかしい
n = 12, p = 0.3: P(X = 5) = ?k0123456789101112

あるテストには選択問題が 12 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.3 で正解します。ちょうど 5 問正解する確率 P はいくつですか？

n = 12p = 0.3k = 5

求めるもの： P

ヒントを表示
  1. これは二項分布です：独立な試行の回数が決まっていて、成功確率が一定です。
  2. P(X = k) = C(n, k)·pk·(1 − p)n−k.
  3. C(12, 5) = 792.
答えとステップごとの解答を表示

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

二項分布の公式

P(X = 5) = 792·0.35·0.77 = 792·0.00243·0.08235 = 0.1585

答え

P = 0.1585

質問と回答

確率とは？

確率は、0 から 1 の間の数で、何かがどれくらい起こりやすいかを表します。0 は決して起こらない、1 は必ず起こることを意味します。

すべての結果が同様に確からしいとき、数えます。

確率の問題の解き方は？（手順）

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

確率でよくある間違いは？
  • それは既知の確率の合計です。欠けている確率は、1 からその合計を引いたものです。
  • 値は同様に確からしいわけではありません：すべての確率の合計が 1 になることを使います。
  • E(X²) は分散ではありません：μ² を引きます。
確率の練習では何を学ぶ？
  • やさしい: 同様に確からしい結果
  • ふつう: 数え上げと余事象
  • むずかしい: 二項分布

問題ごとに数値が変わるので、答えではなく解き方が身につきます。 行き詰まったら、まず小さなヒントを開き、必要なときだけ詳しい解説を見ましょう。

練習のしかた

  • 問題ごとに数値が変わるので、答えではなく解き方が身につきます。
  • 行き詰まったら、まず小さなヒントを開き、必要なときだけ詳しい解説を見ましょう。
  • 進捗、間違えた問題、保存した問題は記録されるので、試験前に復習できます。

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