期待値と分散の計算ツール
値を入力してください。入力に合わせて答えと詳しい解答が更新されます。
結果
E[X] = μ1.7
分散0.81
標準偏差0.9
E[X²]3.7
| x | P(x) | x·P(x) | x²·P(x) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0.1 | 0 | 0 |
| 1 | 0.3 | 0.3 | 0.3 |
| 2 | 0.4 | 0.8 | 1.6 |
| 3 | 0.2 | 0.6 | 1.8 |
離散確率変数の期待値、分散、標準偏差を求めます。取りうる値とその確率を入力してください。1/6 のような分数も使えます。計算ツールは確率の合計が 1 になることを確認し、計算に使った x·P(x) と x²·P(x) の表を示します。
ステップごとの解答
確率を確認してください
Σp = 0.1 + 0.3 + 0.4 + 0.2 = 1 ✓
期待値
E[X] = Σ x·P(x) = 0·0.1 + 1·0.3 + 2·0.4 + 3·0.2 = 1.7
分散と標準偏差
E[X²] = Σ x²·P(x) = 3.7
Var(X) = E[X²] − (E[X])² = 3.7 − 1.7² = 0.81
σ = √0.81 = 0.9
重要な公式
- 期待値
- E[X] = Σ xi·pi
- 分散
- Var(X) = Σ pi(xi − E[X])² = E[X²] − E[X]²
- 確率
- Σ pi = 1
期待値の計算方法
- 取りうるすべての値 x とその確率 P(x) を書き出します。確率の合計は 1 でなければなりません。
- 期待値：E[X] = Σ x·P(x)。
- 2 次のモーメント：E[X²] = Σ x²·P(x)。
- 分散：Var(X) = E[X²] − (E[X])²。標準偏差はその平方根です。
質問と回答
期待値とは何を意味しますか？
試行を何度も繰り返したときの長期的な平均です。取りうる値のどれかである必要はありません。公平なサイコロの期待値は 3.5 です。
ゲームや意思決定で期待値はどう使いますか？
x として純利益を使います。賭けの期待純利益が負なら、1 回ごとの勝負には勝てても、長い目で見れば平均して損をします。
確率の合計が 1 にならないというエラーが出るのはなぜですか？
すべての結果をちょうど 1 回ずつ挙げる必要があります。0.33、0.33、0.33 のような丸めた小数の合計は 0.99 になります。代わりに 1/3 を入力してください。
E[aX + b] と Var(aX + b) はどう変わりますか？
E[aX + b] = a·E[X] + b、Var(aX + b) = a²·Var(X) です。定数を足すと平均はずれますが、ばらつきは変わりません。
自分で練習する
確率を練習
計算ツールは答えを出してくれます。でも試験で必要なのは解き方です。新しい問題、ヒント、解答で練習しましょう。