正規分布の計算ツール
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結果
任意の正規分布 N(μ, σ²) の確率を求めます：ある値より左側または右側の面積、2 つの値の間、両側の裾。逆算モードでは面積から値 x を求められるので、パーセンタイルや合格ラインの点数を調べられます。どの答えにも z 値と使用した Φ の値が示されるため、標準正規分布表と照らし合わせて確認できます。
ステップごとの解答
標準化する
標準正規分布曲線の下の面積
重要な公式
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
正規分布の確率の求め方
- 平均 μ と標準偏差 σ を書き出します。分散 σ² が与えられている場合は、まず平方根をとります。
- z = (x − μ)/σ で各値を標準化します。z 値は、その値が平均より標準偏差の何個分だけ上または下にあるかを表します。
- 標準正規分布曲線の z より左側の面積 Φ(z) を、表または電卓で調べます。
- 面積を組み合わせます：P(X < a) = Φ(z)、P(X > a) = 1 − Φ(z)、P(a < X < b) = Φ(z_b) − Φ(z_a)。
- 面積から逆算するには、Φ(z) が左側の面積に等しくなる z を求め、x = μ + z·σ で元に戻します。
質問と回答
P(X < a) と P(X ≤ a) の違いは何ですか？
正規分布のような連続分布では、違いはありません。ちょうど 1 つの値になる確率はゼロなので、P(X < a) = P(X ≤ a) です。二項分布やポアソン分布のような離散分布では異なります。
正規分布のパーセンタイルはどう求めますか？
左側の面積を使った逆算モードを使います。第 90 パーセンタイルは P(X < x) = 0.90 となる値 x です：z = Φ⁻¹(0.90) = 1.2816 なので、x = μ + 1.2816σ です。上位 10% の境界値には右側の面積 0.10 を使い、同じ値が得られます。
68–95–99.7 の法則とは何ですか？
正規分布の約 68% が平均から標準偏差 1 個分以内、約 95% が 2 個分以内（正確には 1.96σ）、約 99.7% が 3 個分以内に入ります。答えが妥当な範囲にあるかを手早く確かめられます。
z 表の答えが少し違うのはなぜですか？
印刷された表では z は小数第 2 位、Φ(z) は小数第 4 位に丸められています。この計算ツールは Φ を数値的に計算するので、裾の遠い部分でも印刷された z 表よりはるかに正確です。結果は有効数字 4 桁で表示されるため、表による答えとは最後の桁が異なることがあります。
二項分布の問題で正規分布を使えるのはいつですか？
np と n(1 − p) がどちらもおよそ 10 以上のとき、二項分布は μ = np、σ = √(np(1 − p)) の正規分布に近くなります。境界で 0.5 を足すか引きます（連続性補正）。正確な答えが必要なときは、二項分布の計算ツールを使ってください。
自分で練習する
正規分布を練習
計算ツールは答えを出してくれます。でも試験で必要なのは解き方です。新しい問題、ヒント、解答で練習しましょう。