順列・組合せの計算ツール（nPr と nCr）
値を入力してください。入力に合わせて答えと詳しい解答が更新されます。
結果
順列 nPr720
組合せ nCr120
重複順列1000
重複組合せ220
n 個から r 個を選ぶ方法の数を数えます。順列 nPr は順序のある並べ方を、組合せ nCr は順序を問わない選び方を数えます。計算ツールは、項目を重複して選べる場合の数も求め、n と r が 1000 までの正確な整数で計算します。非常に大きな結果でも、途中式にはすべての桁が示されます。
ステップごとの解答
順列：順序が重要
P(n, r) = n!/(n − r)! = 10!/7!
P(10, 3) = 10·9·8 = 720
組合せ：順序は関係ない
C(n, r) = n!/(r!·(n − r)!) = P(n, r)/r!
C(10, 3) = 720/3! = 720/6 = 120
重複を許す場合
nr = 103 = 1000
C(n + r − 1, r) = C(12, 3) = 220
重要な公式
- 順列
- P(n, r) = n!/(n − r)!
- 組合せ
- C(n, r) = n!/(r!·(n − r)!)
- 重複あり
- 順序を区別するなら nr、区別しないなら C(n + r − 1, r)
順列と組合せの計算方法
- 順序が重要かどうかを判断します。人を一列に並べる、1 位と 2 位に賞を与える、暗証コードを作る場合は順序が重要なので、順列を使います。チームを選ぶ、トランプの手札を選ぶ場合は順序が関係ないので、組合せを使います。
- 順列：nPr = n!/(n − r)!、つまり r 個の因数 n·(n − 1)···(n − r + 1) の積です。
- 組合せ：nCr = n!/(r!(n − r)!) = nPr/r!。r! で割ることで、各選び方の r! 通りの順序が取り除かれます。
- 重複を許す場合、順序ありの選び方は nʳ 通り、順序なしの選び方は C(n + r − 1, r) 通りです。
- 小さな例で確認します：C(4, 2) = 6、P(4, 2) = 12。各組は 2 通りの順序で書けるからです。
質問と回答
順列と組合せの違いは何ですか？
順列は順序のある並べ方、組合せは順序のない選び方です。文字 A、B、C からは、順序ありの組が 6 通り（AB、BA、AC、CA、BC、CB）できますが、順序なしの組は 3 通り（{A, B}、{A, C}、{B, C}）だけです。
C(n, r) が C(n, n − r) に等しいのはなぜですか？
取る r 個を選ぶことは、残す n − r 個を選ぶことと同じです。たとえば C(10, 3) = C(10, 7) = 120 です。
0! とは何ですか？
0! = 1 です。これにより、端の場合でも公式が成り立ちます：C(n, 0) = C(n, n) = 1。何も選ばない、またはすべてを選ぶ方法はちょうど 1 通りだからです。
重複組合せとは何ですか？
同じ項目を何度でも選べる、順序のない選び方です。たとえば 10 種類のアイスクリームから 3 すくい選ぶ場合です。数は C(n + r − 1, r) で、この例では C(12, 3) = 220 です。
組合せは確率のどこで使われますか？
二項分布の公式では、C(n, x) は n 回の試行で x 回の成功が起こる順序の数を表します。宝くじやカードゲームでは、ある手札の確率は、好ましい組合せの数を組合せの総数で割ったものです。
自分で練習する
確率を練習
計算ツールは答えを出してくれます。でも試験で必要なのは解き方です。新しい問題、ヒント、解答で練習しましょう。