ポアソン分布の計算ツール
値を入力してください。入力に合わせて答えと詳しい解答が更新されます。
結果
P(X ≥ 6)0.2149
P(X = 6)0.1042
平均4
分散4
標準偏差2
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) |
|---|---|---|
| 0 | 0.01832 | 0.01832 |
| 1 | 0.07326 | 0.09158 |
| 2 | 0.1465 | 0.2381 |
| 3 | 0.1954 | 0.4335 |
| 4 | 0.1954 | 0.6288 |
| 5 | 0.1563 | 0.7851 |
| 6 | 0.1042 | 0.8893 |
| 7 | 0.05954 | 0.9489 |
| 8 | 0.02977 | 0.9786 |
| 9 | 0.01323 | 0.9919 |
| 10 | 0.005292 | 0.9972 |
| 11 | 0.001925 | 0.9991 |
| 12 | 0.0006415 | 0.9997 |
1 時間あたりの通話数、1 メートルあたりの欠陥数、1 分あたりの到着数など、一定の区間内の事象の回数についてポアソン分布の確率を求めます。平均発生率 λ と回数 x を入力すると、ちょうど x 回、x 回以下、x 回以上、x 回未満、x 回より多い確率が得られます。途中式では各項に公式 e^(−λ)·λˣ/x! を使い、短くなる場合は余事象を使います。
ステップごとの解答
ポアソン分布の確率の公式
P(X = k) = e−λ·λk/k!
λ = 4
余事象を使う（項が少なくなる）
P(X ≥ 6) = 1 − P(X ≤ 5)
P(X = 0) = e−4·40/0! = 0.01832
P(X = 1) = e−4·41/1! = 0.07326
P(X = 2) = e−4·42/2! = 0.1465
P(X = 3) = e−4·43/3! = 0.1954
P(X = 4) = e−4·44/4! = 0.1954
P(X = 5) = e−4·45/5! = 0.1563
P(X ≤ 5) = 0.01832 + 0.07326 + 0.1465 + 0.1954 + 0.1954 + 0.1563 = 0.7851
P(X ≥ 6) = 1 − 0.7851 = 0.2149
平均と分散
μ = σ² = λ = 4
σ = √λ = 2
重要な公式
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
ポアソン分布の確率の計算方法
- 問題が対象とする区間での事象の平均回数 λ を求めます。発生率が 1 時間あたり 3 回で、問題が 2 時間についてなら、λ = 6 を使います。
- ちょうど x 回の事象には P(X = x) = e^(−λ)·λˣ/x! を使います。
- 「x 回以下」は、0 から x までの確率を足します。
- 「x 回以上」は、無限までの和を書き出せないので、余事象 P(X ≥ x) = 1 − P(X ≤ x − 1) を使います。
- 平均と分散で答えを確認します：どちらも λ に等しくなります。
質問と回答
ポアソン分布はいつ当てはまりますか？
事象が 1 つずつ、互いに独立に、一定の平均率で起こり、一定の時間、長さ、面積、体積の中に何回起こるかを数えるときです。
ポアソン分布の平均と分散はいくつですか？
どちらも λ に等しいので、標準偏差は √λ です。データの分散が平均よりずっと大きい場合、事象は集中して起こっている可能性が高く、ポアソンモデルはあまり当てはまりません。
λ は小数でもよいですか？
はい。λ は平均なので、1 時間あたり 2.5 回のような値でも構いません。事象の回数 x は整数でなければなりません。
ポアソン分布と二項分布はどう関係していますか？
試行回数が多く成功確率が小さい二項分布では、λ = np のポアソン分布がほぼ同じ確率を与えます。目安としては n ≥ 20 かつ p ≤ 0.05 がよく使われます。
P(X ≥ 1) が 1 − e^(−λ) に等しいのはなぜですか？
事象が 1 回未満になるのは 0 回のときだけで、P(X = 0) = e^(−λ) です。したがって P(X ≥ 1) = 1 − e^(−λ) で、λ = 2 なら 0.8647 です。
自分で練習する
確率を練習
計算ツールは答えを出してくれます。でも試験で必要なのは解き方です。新しい問題、ヒント、解答で練習しましょう。