二項分布の計算ツール
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結果
P(X ≤ 4)0.8497
P(X = 4)0.2001
平均3
標準偏差1.449
分散2.1
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) |
|---|---|---|
| 0 | 0.02825 | 0.02825 |
| 1 | 0.1211 | 0.1493 |
| 2 | 0.2335 | 0.3828 |
| 3 | 0.2668 | 0.6496 |
| 4 | 0.2001 | 0.8497 |
| 5 | 0.1029 | 0.9527 |
| 6 | 0.03676 | 0.9894 |
| 7 | 0.009002 | 0.9984 |
| 8 | 0.001447 | 0.9999 |
| 9 | 0.0001378 | 1 |
| 10 | 5.905 × 10⁻⁶ | 1 |
それぞれ確率 p で成功する n 回の独立な試行について、二項分布の確率を計算します：ちょうど x 回の成功、x 回以下、x 回以上、x 回未満、x 回より多い。二項分布の公式、足し合わせる各項（またはより短い余事象）、平均 np、標準偏差 √(np(1 − p)) を表示します。n が 30 以下なら、分布全体を表にして一覧表示します。
ステップごとの解答
二項分布の確率の公式
P(X = k) = C(n, k)·pk·(1 − p)n − k
n = 10, p = 0.3, 1 − p = 0.7
確率を足し合わせる
P(X = 0) = C(10, 0)·0.30·0.710 = 0.02825
P(X = 1) = C(10, 1)·0.31·0.79 = 0.1211
P(X = 2) = C(10, 2)·0.32·0.78 = 0.2335
P(X = 3) = C(10, 3)·0.33·0.77 = 0.2668
P(X = 4) = C(10, 4)·0.34·0.76 = 0.2001
P(X ≤ 4) = 0.02825 + 0.1211 + 0.2335 + 0.2668 + 0.2001 = 0.8497
平均と標準偏差
μ = np = 10·0.3 = 3
σ² = np(1 − p) = 2.1
σ = √2.1 = 1.449
重要な公式
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
二項分布の確率の計算方法
- 二項分布の状況かどうかを確認します：試行回数 n が一定で、各試行の結果が 2 通り、成功確率 p が毎回同じで、試行が独立であること。
- ちょうど x 回の成功には P(X = x) = C(n, x)·pˣ·(1 − p)ⁿ⁻ˣ を使います。C(n, x) = n!/(x!(n − x)!) は、成功が起こりうる順序の数を表します。
- 「x 回以下」は P(X = 0) から P(X = x) までを足します。「x 回以上」は P(X = x) から P(X = n) までを足します。
- 和の項が多いときは余事象を使います：P(X ≥ x) = 1 − P(X ≤ x − 1)。
- 言葉を注意して読み替えます：「4 回未満」は X ≤ 3、「4 回より多い」は X ≥ 5 です。
質問と回答
二項分布の平均と標準偏差はいくつですか？
平均は μ = np、分散は σ² = np(1 − p) なので、標準偏差は σ = √(np(1 − p)) です。n = 10、p = 0.3 なら、μ = 3、σ = 1.449 になります。
「以上」と「より多い」の違いは何ですか？
「3 以上」は 3 を含みます：P(X ≥ 3)。「3 より多い」は含みません：P(X > 3) = P(X ≥ 4)。離散分布ではこの 2 つは別の数になるので、問題文の表現に合う方を選んでください。
計算ツールが余事象を使うことがあるのはなぜですか？
すべての確率の合計は 1 なので、P(X ≥ x) = 1 − P(X ≤ x − 1) となります。余事象のほうが項が少ない場合は手計算で速いため、途中式ではその方法を示します。結果は同じです。
n はどこまで大きくできますか？
試行回数は 10 000 回までです。各項は対数を使って計算するため、大きな階乗でもオーバーフローせず、確率の精度が保たれます。
二項分布が適切なモデルでないのはどんなときですか？
試行が独立でない場合や p が変化する場合です。たとえば、小さな集団から非復元抽出する場合は、超幾何分布になります。n が大きく p が小さいときは、λ = np のポアソン分布が良い近似になります。
自分で練習する
確率を練習
計算ツールは答えを出してくれます。でも試験で必要なのは解き方です。新しい問題、ヒント、解答で練習しましょう。