仮説検定と信頼区間：ステップごとの解答つき練習問題

1検定の考え方

ある機械は、ボトルに平均 500 mL を充填するはずです。ボトルの標本の平均は 496 mL でした。機械は間違っているのでしょうか、それとも単なる偶然でしょうか？

仮説検定は、その問いに数値で答えます。2 つの言明から始めます。

• 帰無仮説 H₀：何も変わっていない。ここでは H₀：μ = 500。
• 対立仮説 H₁：あなたが疑っていること。ここでは H₁：μ ≠ 500（両側）、または充填不足だけを心配するなら μ < 500（片側）。

H₀ が真だと仮定して、問います：この標本はどれくらい珍しいか？ とても珍しいなら、H₀ を棄却します。

2検定統計量

検定統計量は、標本平均が H₀ の値 μ₀ から、標準誤差を単位としてどれだけ離れているかを測ります。

母標準偏差 σ がわかっているときは z を使います。標本標準偏差 s しかわからないときは、t を使います。

z や t が 0 に近ければ、標本は H₀ と一致しています。絶対値の大きな正または負の値は、標本が μ₀ から遠いことを意味します。

3判断する：臨界値と p 値

データを見る前に、有意水準 α を選びます。通常は 0.05 です。これは、真の H₀ を棄却してしまうリスクとして受け入れる水準です。

α = 0.05 での z 検定では：

• 両側（H₁：μ ≠ μ₀）：|z| > 1.96 なら H₀ を棄却します。
• 片側（H₁：μ > μ₀）：z > 1.645 なら H₀ を棄却します。μ < μ₀ では：z < −1.645 なら棄却します。

p 値は、H₀ が真であるとき、この結果以上に極端な結果が得られる確率です。p < α のとき、H₀ を棄却します。

H₀ を棄却しないことは、H₀ が正しいことの証明にはなりません。データが、H₀ に反する十分に強い証拠ではないということを意味するだけです。

検定と信頼区間は一致します：5% の両側検定は、μ₀ が 95% 区間 x̄ ± 1.96 · σ/√n の外にあるときにだけ H₀ を棄却します。

4ステップごとの方法

1. H₀ と H₁ を述べ、検定が片側か両側かを決めます。
2. z（σ がわかっている）か t（s だけわかっている、df = n − 1）を選びます。
3. 標準誤差 σ/√n または s/√n を計算します。
4. 検定統計量 (x̄ − μ₀) / 標準誤差 を計算します。
5. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
6. 結論を、問題の言葉で述べます。

5例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

6よくある間違い

• 両側検定に片側の臨界値（1.645）を使う、またはその逆。
• H₀ が棄却されなかったときに、H₀ が正しいと証明されたと言ってしまう。
• 標準誤差の √n を忘れる。
• x̄ − μ₀ を逆に書いて、z の符号が反転すること。
• 小さな標本で、標本の s しかわからないのに z を使うこと。

7試験問題の例

• やさしい：z 統計量。σ がわかっています。z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) を計算します。
• ふつう：t 統計量。標本標準偏差 s だけが与えられます。t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) を計算します。
• むずかしい：信頼区間。95% または 99% での x̄ ± z · σ/√n の下限または上限を求めます。

手早い確認：x̄ が μ₀ より下なら、検定統計量は負でなければなりません。