図、ヒント、詳しい解答つきの無料の信頼区間練習問題。毎回新しい数値で、3 つのレベル：z による区間, t による区間, 標本サイズ。
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事前に学ぶこと： 正規分布
母集団全体の平均 μ、たとえば工場がつくるすべての電池の平均寿命を知りたいとします。全部を試験することはできないので、n 個の電池の標本を試験します。
標本平均 x̄ は μ の最良の推測値ですが、別の標本なら少し違う x̄ になります。1 つの数値では、その不確かさが隠れてしまいます。
信頼区間は代わりに範囲を示します：x̄ からある幅を引いたものから、x̄ にその幅を足したものまで。
95% 信頼区間は、すべての標本のうち 95% で真の μ を捉える方法でつくられます。信頼水準が高いほど、区間は広くなります。
答え: 99% の区間. 区間が μ を含むことにより確信をもつには、区間をより広くしなければなりません。99% の臨界値 2.576 は、90% の値 1.645 より大きいです。
母標準偏差 σ がわかっているとき、区間は次のとおりです。
σ/√n の項は標準誤差で、x̄ が標本ごとにどれだけ変動するかを表します。標本が大きいほど、標準誤差は小さくなります。
臨界値 z は信頼水準によって決まります。次の 3 つを覚えましょう。
誤差の限界は E = z · σ/√n です。区間は、x̄ − E（下限）から x̄ + E（上限）までです。
答え: 57.94. E = 1.96 · 12/√64 = 1.96 · 1.5 = 2.94 なので、上限は 57.94 です。√n を忘れると 78.52、57.47 は 90% の値 1.645 を使った値です。
たいてい、σ はわかりません。そのときは標本標準偏差 s を使い、臨界値は t 分布から得ます。
自由度 df は n − 1 です。t の値は z より大きいので、区間は広くなります：s の余分な不確かさを織り込むためです。n が大きいと、t は z に近づきます。
95% では：df = 9 で t = 2.262、df = 15 で t = 2.131、df = 29 で t = 2.045 です。
ときには標本サイズを計画しなければなりません：誤差の限界を E 以下にするには、n をどれだけ大きくすべきか。E = zσ/√n を n について解きます。
常に次の整数に切り上げます。切り捨てると、誤差の限界が E よりわずかに大きくなってしまいます。
答え: 163. (1.96 · 13/2)² = 12.74² = 162.3 で、切り上げて 163 です。162 に切り捨てると誤差の限界は 2 をわずかに上回り、13 は 2 乗を忘れた値です。
標本サイズの問題では：n = (zσ/E)²、切り上げます。
すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。
16 個の標本の平均は 40、標準偏差は s = 6 です。母集団はほぼ正規分布です。平均の 95% 信頼区間を求めなさい。
わかっているのは標本標準偏差 s だけで、σ ではありません。したがって、df = n − 1 = 15 の t を使います。
z = 1.96 なら誤差の限界は 2.94 になります。σ がわからないときは、t 区間は少し広くなるのが当然です。
95% 信頼区間は [36.80, 43.20] です。
答え: t = 2.262（df = 9）. σ がわからないので、df = n − 1 = 9 の t を使います。z を使うと s の不確かさを無視することになり、df = 10 は 1 を引き忘れた値です。
手早い確認：標本平均は、常に区間のちょうど真ん中にあります。
200 回の測定からなる標本の平均は 174.5 です。母標準偏差は 30 であることがわかっています。 平均の 90% 信頼区間の上限を求めなさい。
求めるもの： 上限
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
σ が既知のもとで 50 個の観測値に基づく平均の 95% 信頼区間の誤差の幅は 7.8 です。 同じ研究で代わりに 100 個の観測値を使うと、誤差の幅 E₂ はいくらになりますか？
求めるもの： E₂
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
機械加工した 21 本の軸の直径の標本標準偏差は 1.2 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の上限 σ を求めなさい。df = 20 のとき、χ² 分布の 2.5% は 9.591 より下に、2.5% は 34.17 より上にあります。
求めるもの： σ (µm)
分散の区間：(n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
σ の 95% 区間：[0.9181, 1.733] µm。
標本平均 x̄ は μ の最良の推測値ですが、別の標本なら少し違う x̄ になります。1 つの数値では、その不確かさが隠れてしまいます。
95% 信頼区間は、すべての標本のうち 95% で真の μ を捉える方法でつくられます。信頼水準が高いほど、区間は広くなります。
問題ごとに数値が変わるので、答えではなく解き方が身につきます。 行き詰まったら、まず小さなヒントを開き、必要なときだけ詳しい解説を見ましょう。