積分：ステップごとの解答つき練習問題

図、ヒント、詳しい解答つきの無料の積分練習問題。毎回新しい数値で、3 つのレベル：多項式, 指数・対数と置換積分, 曲線間の面積。

無料の練習問題やさしい
xy−2−1

I = ∫−2−1 (4x2 − 4x + 5) dx を計算しなさい。

f(x) = 4x2 − 4x + 5[−2, −1]
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練習する内容

  1. やさしい多項式
  2. ふつう指数・対数と置換積分
  3. むずかしい曲線間の面積

積分の問題の解き方

  1. できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
  2. べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。ex、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
  3. 関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
  4. 定積分では F(b) − F(a) を計算します。

よくある間違い

  • 新しい指数で割り忘れる。
  • 置換したあとで積分範囲を変えない。
  • 不定積分で + C を忘れる。

重要な公式

べき乗の微分
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分
∫ab f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積
∫ab (f − g) dx

積分をゼロから学ぶ

事前に学ぶこと： 微分

1積分とは

積分は、変化する量を足し合わせます。最もわかりやすいイメージは、グラフの下の面積です。

車が 5 秒間、20 m/s で走ります。進む距離は 20 · 5 = 100 m です。速さ–時間のグラフでは、それは線の下の長方形の面積です。

xy520100

速さが変わると、グラフの下の形は曲がりますが、考え方は同じです：面積が距離です。

x = a から x = b までの f の下の面積を、次のように書きます：

∫ab f(x) dx

数 a と b は積分の端点（積分の区間の限界）です。dx は、x が変数であることを示します。

セルフチェック 自転車が 4 秒間、一定の 10 m/s で走る。速さ–時間のグラフの下の面積はいくらか。
  1. 10 m
  2. 14 m
  3. 2.5 m
  4. 40 m

答え: 40 m. 面積は長方形です：高さ 10 m/s に幅 4 s を掛けると 40 m になります。10 を 4 で割ると 2.5 ですが、これは面積ではありません。

2原始関数とべき乗の公式

積分は、微分の逆です。f の原始関数 F は、導関数が f になる関数です。

(x³)′ = 3x² なので、3x² の原始関数は x³ です。任意の定数を加えられるので、∫3x² dx = x³ + C と書きます。

積分のべき乗の公式：指数を 1 つ上げ、新しい指数で割ります。

∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C, n ≠ −1
  • 定数の係数は前に残ります：∫5x² dx = 5x³/3 + C。
  • 定数だけの場合：∫4 dx = 4x + C。
  • 和は、各項を別々に積分します。

次も覚えておきましょう：∫eˣ dx = eˣ、∫ekx dx = ekx/k、∫1/x dx = ln|x|、∫cos x dx = sin x、∫sin x dx = −cos x。

原始関数は、いつでも確認できます：微分すれば、元の関数が戻らなければなりません。

セルフチェック ∫6x² dx は何か。
  1. 12x + C
  2. 2x³ + C
  3. 3x³ + C
  4. 6x³ + C

答え: 2x³ + C. 指数を 3 に上げて 3 で割ります：6x³/3 = 2x³。12x は導関数であって積分ではなく、6x³ は新しい指数で割るのを忘れています。

3定積分と面積

定積分には端点があり、値は数になります。原始関数 F を求め、2 つの端点での値を引きます。

∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)

定数 C は引き算で打ち消されるので、ここでは省略できます。

例：∫13 3/x dx = 3 ln 3 − 3 ln 1 = 3 ln 3 ≈ 3.296（ln 1 = 0 なので）。

関数の中に別の関数があるときは、置換積分が役立ちます。e0.5x では u = 0.5x とおきます。結果は上の公式になります：0.5 で割ります。

∫03 e0.5x dx = 2e0.5x |03 = 2(e1.5 − 1) ≈ 6.963

2 つの曲線の間の面積は、2 つの曲線が交わる点の間で、上の曲線から下の曲線を引いたものを積分したものです。

y = 2x と y = x² では、曲線は x = 0 と x = 2 で交わります。その区間では 2x が上にあります。

A = ∫02 (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3
セルフチェック 曲線 y = x と y = x² は x = 0 と x = 1 で交わる。その間では y = x が上にある。囲まれた面積はいくらか。
  1. 1/2
  2. 1/6
  3. 5/6
  4. −1/6

答え: 1/6. 0 から 1 までの ∫(x − x²) dx は 1/2 − 1/3 = 1/6 です。下から上を引くと −1/6、2 つの積分を足すと 5/6 になります。

4ステップごとの方法

  1. 関数を簡単な項の和に書き換えます。根号や分数はべき乗で書きます：√x = x1/2。
  2. べき乗の公式か基本的な積分で、各項の原始関数を求めます。
  3. 頭の中で微分して、すばやく確認します。
  4. 定積分では、F(b) と F(a) を別々に計算します。
  5. 引き算します：F(b) − F(a)。a が負のときはマイナス記号に注意します。

曲線間の面積では、まず f(x) = g(x) を解いて端点を求め、次に上から下を引いたものを積分します。

5例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

例題

I = ∫02 (3x² + 2x + 1) dx を計算せよ。

1

項ごとに積分する

3x² は 3x³/3 = x³ になります。2x は 2x²/2 = x² になります。定数 1 は x になります。

F(x) = x³ + x² + x
2

微分して確認する

F′(x) = 3x² + 2x + 1

これは元の関数なので、F は正しいです。

3

上端での値

F(2) = 8 + 4 + 2 = 14
4

下端での値

F(0) = 0 + 0 + 0 = 0
5

引く

I = F(2) − F(0) = 14 − 0 = 14
xy214

積分は、x = 0 から x = 2 までの曲線の下の、色のついた面積です。

答え

I = 14

6よくある間違い

  • 新しい指数で割り忘れる。
  • 積分する代わりに微分する：指数を上げる代わりに下げてしまう。
  • ∫1/x dx を x⁰/0 と書く。べき乗の公式は n = −1 では使えません。ln|x| を使います。
  • a が負のとき、F(a) のマイナス記号を忘れる。たとえば (−1)³ = −1 です。
  • 不定積分で + C を忘れる、または置換の後で端点を変え忘れる。
セルフチェック ∫02 x³ dx は何か。
  1. 12
  2. 16
  3. 4
  4. 8

答え: 4. F(x) = x⁴/4 なので、F(2) − F(0) = 16/4 − 0 = 4 です。新しい指数 4 で割るのを忘れると 16 になります。

7試験問題の例

  • やさしい：多項式の定積分で、端点が負のこともあります。べき乗の公式と F(b) − F(a) を使います。
  • ふつう：指数関数、対数、置換積分。たとえば、2 つの端点の間の ∫e0.5x dx や ∫3/x dx。
  • むずかしい：y = x² と y = 4x のような、2 つの曲線で囲まれた面積。交わる点を求め、次に上から下を引いたものを積分します。

簡単な確認：2 つの曲線で囲まれた面積は、必ず正です。負の数になったら、引き算の順序を間違えています。

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解答例

例題 1やさしい
xy3y = 0.5x

y = 0.5x の下の x = 0 から x = 3 までの領域を x 軸のまわりに回転させます。立体（円錐）の体積 V を求めなさい。

y = 0.5x0 ≤ x ≤ 3

求めるもの： V

ヒントを表示
  1. x でのスライスは、半径 y = 0.5x の円板です。
  2. V = π∫₀3 (0.5x)² dx.
  3. = π·0.25·x³/3.
答えとステップごとの解答を表示

回転体の体積：x = a から x = b までの y = f(x) の下の領域を x 軸のまわりに回転させると、x での断面が半径 f(x) の円板である立体ができます。円板を足し合わせると V = π∫ₐᵇ f(x)² dx になります。領域が外側の曲線 R(x) と内側の曲線 r(x) の間にあるときは、各スライスはワッシャー（円環）で、V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx です。引く前に半径を 2 乗しましょう。

円板法

V = π∫₀3 0.25x² dx

積分する

V = π·0.25·3³/3 = 7.069

答え

V = 7.069

確認：半径 1.5、高さ 3 の円錐は (1/3)πr²h = 7.069 です。

例題 2ふつう
xy2y = x·cos x

I = ∫₀2 x·cos x dx（x はラジアン）を計算しなさい。

∫₀2 x·cos x dx

求めるもの： I

ヒントを表示
  1. u = x、dv = cos x dx とします。
  2. v = sin x.
  3. ∫x cos x dx = x sin x + cos x.
答えとステップごとの解答を表示

部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。

u と dv を選ぶ

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

原始関数

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

極限

(2·sin 2 + cos 2) − (0 + 1) = 0.4024

答え

I = 0.4024
例題 3むずかしい
xyy = 2x2​y = x

y = 2x2 と y = x で囲まれた部分の面積 A を求めなさい。

y = 2x2y = x

求めるもの： A

ヒントを表示
  1. まず 2 曲線の交点を求めます：両者を等しいとおきます。
  2. 交点は x = 0 と x = 0.5 です。その間では直線が放物線の上にあります。
  3. A = ∫00.5 (x − 2x2) dx.
答えとステップごとの解答を表示

定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。

交点

2x2 = x → x = 0, x = 0.5

上から下を引いて積分する

A = [0.5x2 − 0.6667x3]00.5 = 0.04167

答え

A = 0.04167

質問と回答

積分とは？

積分は、変化する量を足し合わせます。最もわかりやすいイメージは、グラフの下の面積です。

車が 5 秒間、20 m/s で走ります。進む距離は 20 · 5 = 100 m です。速さ–時間のグラフでは、それは線の下の長方形の面積です。

積分の問題の解き方は？（手順）
  1. できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
  2. べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。ex、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
  3. 関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
  4. 定積分では F(b) − F(a) を計算します。
積分でよくある間違いは？
  • 新しい指数で割り忘れる。
  • 置換したあとで積分範囲を変えない。
  • 不定積分で + C を忘れる。
積分の練習では何を学ぶ？
  • やさしい: 多項式
  • ふつう: 指数・対数と置換積分
  • むずかしい: 曲線間の面積

問題ごとに数値が変わるので、答えではなく解き方が身につきます。 行き詰まったら、まず小さなヒントを開き、必要なときだけ詳しい解説を見ましょう。

練習のしかた

  • 問題ごとに数値が変わるので、答えではなく解き方が身につきます。
  • 行き詰まったら、まず小さなヒントを開き、必要なときだけ詳しい解説を見ましょう。
  • 進捗、間違えた問題、保存した問題は記録されるので、試験前に復習できます。

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