ラプラス変換をゼロから学ぶ
事前に学ぶこと： 微分方程式, 積分
1ラプラス変換とは何か
回路、モーター、タンクは微分方程式で記述されます：出力が自身の変化率に依存します。これらを直接解くのは手間がかかります。
ラプラス変換は、そのような問題を代数に変えます。時間の関数 f(t) をすべて、新しい変数 s の関数 F(s) に置き換えます。
s の普通の代数で問題を解き、そのあと結果を時間に翻訳し戻します。その最後のステップが逆変換です。
F(s) = ℒ{f(t)} = ∫₀∞ f(t)·e−st dt
この積分を自分で使うことはほとんどありません。実際には、2 つの言語の間の辞書のように、表で変換対を調べます。
図は、3 つのよくある信号を示しています：定数 1（ステップ）、減衰する指数関数、正弦波。それぞれの下にその変換があります。
セルフチェック 定数信号 f(t) = 5 のラプラス変換は何ですか？
- 1/(5s)
- 5/s
- 5
- 5s
答え: 5/s. 定数倍は前に残り、ℒ{1} = 1/s です。したがって ℒ{5} = 5/s です。5 と答えるのは、定数の変換が常に 1/s の因子をもつことを忘れた値です。
2変換対の表
この 5 つの対を覚えましょう。2 つの規則と合わせれば、ほとんどすべての試験問題をカバーできます。
1 ↔ 1/s
e−at ↔ 1/(s + a)
t·e−at ↔ 1/(s + a)²
sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)
cos ωt ↔ s/(s² + ω²)
- 線形性：定数は前に残り、和は項ごとに変換されます。したがって 3/(s + 2) ↔ 3·e−2t。
- シフト：s を s + a に置き換えると、時間関数に e−at がかかります。したがって (s + 2)/((s + 2)² + 9) ↔ e−2t·cos 3t。
正弦の対に注意してください：分子は ω そのものでなければなりません。12/(s² + 9) では ω = 3 なので、12 = 4·3 と書きます。結果は 4·sin 3t です。
sin ωt と cos ωt では、角度 ωt はラジアンです。評価する前に、電卓をラジアンに設定してください。
例題F(s) = 6/(s + 3) + 2/s の f(t) を求め、f(0.5) を評価しなさい。
16/(s + 3) は、a = 3 の 1/(s + a) の形の 6 倍です。項 2/s は定数 2 です。
6/(s + 3) ↔ 6·e−3t 2/s ↔ 2
22 つの部分を足します（線形性）：
f(t) = 6·e−3t + 2
3f(0.5) = 6·e−1.5 + 2 = 6·0.2231 + 2 = 3.34
答え f(t) = 6·e−3t + 2 なので、f(0.5) ≈ 3.34 です。
セルフチェック 8/(s² + 16) の逆変換は何ですか？
- 2·cos 4t
- 2·sin 4t
- 8·sin 16t
- 8·sin 4t
答え: 2·sin 4t. ω² = 16 なので、ω = 4 です。この対は分子に 4 を必要とします：8 = 2·4 なので、2·sin 4t になります。8·sin 4t は ω で割るのを忘れた値です。余弦は、分子に s があるものに属します。
3逆変換せずに求める初期値と最終値
f(t) がどこから始まるか、あるいはどこに行き着くかだけが必要なこともあります。2 つの定理が、F(s) から直接それを与えます。
f(0⁺) = lims→∞ s·F(s) f(∞) = lims→0 s·F(s)
- 初期値（s → ∞）：s が非常に大きいと、分子と分母で s の最も高いべきだけが効きます。
- 最終値（s → 0）：因子 s を打ち消し、残りのすべての因子（ゼロも含む）で s = 0 とします。
- 最終値定理は、f(t) が実際に落ち着くときにしか使えません：s·F(s) のすべての極が負の実部をもたなければなりません。
最終値：F(s) = 12/(s(s + 2)(s + 3)) では、s·F(s) = 12/((s + 2)(s + 3)) です。s = 0 ではこれは 12/6 = 2 なので、f(∞) = 2 です。
初期値：F(s) = (3s + 10)/(s² + 5s + 6) では、s·F(s) = (3s² + 10s)/(s² + 5s + 6) です。大きな s では 3s²/s² のようにふるまうので、f(0⁺) = 3 です。
初期の傾き f′(0⁺) には、微分の変換 ℒ{f′} = s·F(s) − f(0⁺) を使います。次にそれに初期値定理を適用します：
f′(0⁺) = lims→∞ s·[s·F(s) − f(0⁺)]
同じ F(s) で：s·F(s) − 3 = (−5s − 18)/(s² + 5s + 6) です。s をかけて s → ∞ とします。最も高いべきから −5s²/s² となるので、f′(0⁺) = −5 です。
セルフチェック F(s) = 10(s + 2)/(s(s + 4)(s + 5)) です。f(t) はどの値に落ち着きますか？
- 0.5
- 0
- 1
- 20
答え: 1. s·F(s) = 10(s + 2)/((s + 4)(s + 5)) で、s = 0 では 20/20 = 1 です。ゼロの因子 (s + 2) を落とすと 0.5 になります。値 0 は s → ∞ の極限で、それは初期値です。
4部分分数を一歩ずつ
ほとんどの F(s) は、そのままでは表にありません。表にある単純な分数に分けます。これが部分分数分解です。
分母の根はそれぞれ極です。s = −a の単純極は項 A/(s + a) を 1 つ与え、それは時間では A·e−at になります。
F(s) = A/(s + a) + B/(s + b) ⇒ f(t) = A·e−at + B·e−bt
隠蔽法で各係数が求まります。A を求めるには、F(s) の因子 (s + a) を隠し、残りのすべてに s = −a を代入します。
例：F(s) = (s + 7)/((s + 1)(s + 4))。すると A = (−1 + 7)/(−1 + 4) = 6/3 = 2、B = (−4 + 7)/(−4 + 1) = −1 です。したがって f(t) = 2e−t − e−4t。
極の位置は形を教えてくれます。−3 の実数の極は、純粋な減衰 e−3t を与えます。複素共役の極 −1 ± j2 は減衰振動、すなわち e−t と sin 2t または cos 2t の積を与えます。
- 重根の極 (s + a)²：A/(s + a) + B/(s + a)² と書きます。2 番目の項は B·t·e−at を与えます。したがって (s + 4)/(s + 1)² = 1/(s + 1) + 3/(s + 1)² ↔ e−t + 3t·e−t。
- 複素数の極：平方完成をします、s² + 4s + 8 = (s + 2)² + 2²。すると 10/((s + 2)² + 2²) = 5·2/((s + 2)² + 2²) ↔ 5·e−2t·sin 2t です。
- 分母を因数分解して、極を並べます。2 次式なら、その根を求めるか、平方完成します。
- 極ごとに 1 つの分数を書きます：A/s、B/(s + a) など。重根の極には 2 乗の項も加えます。
- 各係数を隠蔽法で求めます。残りの因子の符号を保ちます。
- 表を使って、すべての項を時間に翻訳し戻します。
- 時間 t を代入します（正弦と余弦はラジアン）。値の定理で f(0⁺) と f(∞) を確認します。
セルフチェック F(s) = (s + 5)/((s + 1)(s + 3)) = A/(s + 1) + B/(s + 3) です。A はいくらですか？
- 2
- 4
- −1
- −2
答え: 2. (s + 1) を隠して、残りの式に s = −1 を代入します：(−1 + 5)/(−1 + 3) = 4/2 = 2。したがって値 −1 は B です。4 は残りの因数で割り忘れた誤りで、−2 は残りの因数の符号を取り違えた誤りです：4/2 ではなく 4/(−2) としています。
5例題
これは典型的な「ふつう」の問題です。開く前に、各ステップを自分で試してみましょう。
例題F(s) = 12/(s(s + 2)(s + 3)) の f(t) を部分分数分解で求め、f(0.5) を評価しなさい。
1分母はすでに因数分解されています。極は s = 0、s = −2、s = −3 で、すべて単純極です。
F(s) = A/s + B/(s + 2) + C/(s + 3)
2因子 s を隠し、残りに s = 0 を代入します：
A = 12/((0 + 2)(0 + 3)) = 12/6 = 2
3(s + 2) を隠して s = −2 を代入します。次に (s + 3) を隠して s = −3 を代入します。すべての符号を保ちます。
B = 12/((−2)(−2 + 3)) = 12/(−2) = −6
C = 12/((−3)(−3 + 2)) = 12/3 = 4
4各項は表の対です：2/s ↔ 2、そして B/(s + a) ↔ B·e−at。
f(t) = 2 − 6e−2t + 4e−3t
5f(0.5) = 2 − 6e−1 + 4e−1.5 = 2 − 2.207 + 0.893 = 0.685
6t = 0 では：2 − 6 + 4 = 0 です。大きな s で s·F(s) → 0 なので、初期値定理と一致します。
t → ∞ では 2 だけが残ります。最終値定理も 12/(2·3) = 2 を与えます。
答え f(t) = 2 − 6e−2t + 4e−3t なので、f(0.5) ≈ 0.685 です。
6よくある間違い
- 定理を取り違えること：s → ∞ は始めの値 f(0⁺) を、s → 0 は終わりの値 f(∞) を与えます。
- s·F(s) の因子 s を忘れる、または s = 0 とするときに (s + 2) のようなゼロの因子を落とすこと。
- 隠蔽法での符号の誤り：s = −3 では、因子 (s + 2) は 5 ではなく −1 です。
- ω で割らずに正弦の対を使うこと：ω/(s² + ω²) は分子に ω が必要です。
- 電卓を度にして sin ωt や cos ωt を評価すること。角度 ωt はラジアンです。
- f(t) が落ち着かないのに最終値定理を使うこと。たとえば F(s) = 1/(s² + 4) は純粋な正弦波です。
セルフチェック F(s) = 6/((s + 1)(s + 3)) です。隠蔽法で、e−3t の係数 B はいくらですか？
- 3
- 6
- −2
- −3
答え: −3. (s + 3) を隠して、残りに s = −3 を代入します：6/(−3 + 1) = 6/(−2) = −3。正の 3 は符号の誤りです（それは e−t の係数 A です）。−2 は、残りの因子ではなく極の値で割った値です。
7試験問題の例
- やさしい：表の対と値の定理。定数、指数関数、t·e−at、正弦、余弦を逆変換して評価する、あるいは f(0⁺)、f(∞)、初期の傾き f′(0⁺) を求めます。
- ふつう：部分分数分解による逆変換。1 つの係数 A を求める、3 つの単純極 s(s + a)(s + b) を逆変換する、重根の極、または平方完成による複素数の極を扱います。
- むずかしい：微分方程式と伝達関数、たとえば初期値が与えられた y″ + 7y′ + 6y = 15·u(t)。ある時刻での y を求めます。
むずかしいレベルでは、各微分を初期条件とともに変換します：
ℒ{y′} = s·Y − y(0) ℒ{y″} = s²·Y − s·y(0) − y′(0)
次に、Y(s) についての代数方程式を解き、解説の例のように部分分数分解で逆変換します。
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