ホイートストンブリッジとひずみゲージ：ステップごとの解答つき練習問題

1ホイートストンブリッジとは何か

ホイートストンブリッジは、同じ電源 V_s につながれた 2 つの分圧器です。出力は、それぞれの中点 a と b の間の電圧です。

2 つの分圧器の比が等しいとき、a と b は同じ電圧になり、出力は 0 です：ブリッジは平衡しています。このとき 1 つの辺がわずかに変わるだけで小さな出力が現れ、大きな共通電圧に埋もれることなく測定できます。

だから、ブリッジは未知の抵抗の測定や、ひずみゲージやサーミスタなどのセンサの小さな抵抗変化の測定に使われます。

2節点電圧と平衡条件

各中点は分圧器です。R₁ が R₂ の上、R₃ が R₄ の上にあるとき：

比が一致するとき、出力は 0 です：

平衡条件に電源電圧は現れません。したがって、既知の抵抗を調整して検流計が 0 を示すようにすれば、未知の抵抗を求められます。

3ステップごとの方法

1. 辺に名前をつけます：左の分圧器に R₁ と R₂、右の分圧器に R₃ と R₄ があり、節点 a は R₁ と R₂ の間、節点 b は R₃ と R₄ の間にあります。
2. 平衡したブリッジでは、R₁·R₄ = R₂·R₃ を未知数について解きます。
3. 不平衡のブリッジでは、分圧器から V_a と V_b を求めて差をとります。
4. 抵抗 R_g の計器が出力に負荷をかけるときは、ブリッジをテブナン等価回路に置き換えます：V_th = V_ab、R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄。すると I_g = V_th/(R_th + R_g) です。

4例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

5ひずみゲージ

ひずみゲージは、部品に貼りつけた薄い金属箔です。部品が伸びると、箔は長く細くなり、抵抗が増加します：

ε はひずみ（しばしばマイクロストレイン µε = 10⁻⁶ で表します）、GF はゲージ率で、金属箔では約 2 です。変化はごくわずかです：350 Ω のゲージで GF = 2、500 µε なら ΔR = 0.35 Ω です。

すべての辺が R に等しいブリッジでは、出力はおおよそ次のようになります：

• 1/4 ブリッジ（アクティブゲージ 1 枚）：V_o ≈ V_s·GF·ε/4。
• 1/2 ブリッジ（1 つの分圧器に逆向きのひずみを受けるゲージ 2 枚）：V_o = V_s·GF·ε/2。
• フルブリッジ（アクティブゲージ 4 枚）：V_o = V_s·GF·ε。

V_s = 5 V、GF = 2、500 µε のとき、1/4 ブリッジでは 5·2·0.0005/4 = 1.25 mV になります。応力はフックの法則 σ = E·ε から求まります。

6よくある間違い

• 平衡条件で、組み合わせる辺を間違えること。上側の 2 辺と下側の 2 辺を比べます。
• 1/2 ブリッジやフルブリッジに、1/4 ブリッジの係数 4 を使うこと。
• µε が 10⁻⁶ を意味することを忘れること。
• 大きな抵抗変化に、微小変化の見積もり V_s·ΔR/(4R) を使うこと。その場合は、2 つの分圧器を厳密に計算します。

7試験問題の例

• やさしい：平衡と節点電圧。平衡したブリッジの未知の辺や調整できる辺、節点電圧、開放出力、電源電流、あるいはスライドワイヤブリッジの未知の抵抗を求めます。
• ふつう：不平衡ブリッジ。抵抗変化に対する厳密な出力や線形化した出力、テブナン抵抗、検流計の電流、測定した出力からの抵抗変化、あるいはゲージでの電力を求めます。
• むずかしい：ひずみゲージとロードセル。ΔR からのひずみ、1/4、1/2、フルブリッジの出力、読み取り値からのひずみや応力、変換器の入力に合わせる増幅器のゲイン、あるいは mV/V で定格が示されたロードセルの出力を求めます。

スライドワイヤブリッジでは、2 つの導線部分が比の辺の役割を果たします：R/R_x = l/(100 − l)。