交流インピーダンスとフェーザ：ステップごとの解答つき練習問題

1交流とインピーダンスとは

家庭用の電源は交流（AC）です：電圧が、正弦波のように、1 秒間に何度も上下に振れます。

周波数 f は、1 秒あたりの完全な振動の回数で、単位はヘルツ（Hz）です。電源の周波数は、ヨーロッパでは 50 Hz、北米では 60 Hz です。

交流の計算では、角周波数がよく使われます：

交流の電圧と電流は、ふつう実効値（rms）で与えられます。実効値は、その値の直流と同じ発熱の仕事をします。「230 V」の電源は 230 V rms を意味します。

交流回路では、抵抗だけでなく、インダクタとコンデンサも電流を制限します。それらを合わせた効果がインピーダンス Z で、単位はオームです。

2インダクタとコンデンサのリアクタンス

インダクタとコンデンサは、周波数に依存する形で交流に抵抗します。この周波数に依存する抵抗をリアクタンス X といい、単位はオームです。

• インダクタは急な変化に逆らいます。そのリアクタンス X_L は周波数とともに大きくなります。直流（f = 0）では、ただの導線です。
• コンデンサは直流を通さず、速い変化を通します。そのリアクタンス X_C は周波数が上がると小さくなります。

L は必ずヘンリー、C はファラドで使います：100 mH = 0.1 H、10 µF = 10·10⁻⁶ F。

3インピーダンスと位相角

抵抗では、電圧と電流は一緒に上下します。インダクタでは電流が電圧より 4 分の 1 周期遅れ、コンデンサでは 4 分の 1 周期進みます。

このずれがあるため、R と X を普通の数として足すことはできません。直角に足し、j を使った複素数で書きます：

インピーダンスの大きさと角は、直角三角形から得られます：

オームの法則は大きさで成り立ちます：I = V / |Z|。角 φ は、電流が電圧よりどれだけ遅れるかを表します。φ が正なら誘導性（電流が遅れる）、負なら容量性です。

4ステップごとの方法

1. 周波数を換算します：ω = 2π·f。
2. それぞれのリアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。H と F を使います。
3. 合成リアクタンス X = X_L − X_C を求めます（直列回路）。
4. |Z| = √(R² + X²) を求め、必要なら φ = arctan(X/R) を求めます。
5. オームの法則を使います：I = V/|Z|。次に、ある部分の電圧は、I にその R または X を掛けたものです。

直列回路では、すべての部分に同じ電流が流れます。だから、まず I を求めて、どこでも使えるのです。

5例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

6よくある間違い

• X_L と X_C で、ω = 2πf の代わりに f を使う。
• R、X_L、X_C を普通の数として足す。R は X と直角で、X_L と X_C は逆向きです。
• 容量性リアクタンスは引くことを忘れる：X = X_L − X_C。
• L を mH のまま、C を µF のまま使う。または、φ を度で求めたいのに電卓がラジアンになっている。

7試験問題の例

• やさしい：50 Hz または 60 Hz の電源につないだ RL 直列回路。|Z| または実効値の電流 I を求めます。
• ふつう：いろいろな周波数の RLC 直列回路。電流 I または位相角 φ を求めます。X_C が X_L より大きいとき、φ は負になります。
• むずかしい：コンデンサの電圧、電流、または共振周波数を求める RLC 直列回路。

コンデンサの電圧は、まず I を求め、そのあと V_C = I·X_C で求めます。共振の近くでは、電源電圧より大きくなることがあります。

共振では X_L = X_C となって打ち消し合うので、|Z| = R です。このとき、電源の周波数は関係しません。