節点解析：ステップごとの解答つき練習問題

図、ヒント、詳しい解答つきの無料の節点解析練習問題。毎回新しい数値で、3 つのレベル：未知節点 1 個, 未知節点 2 個, 節点 2 個・電源 3 個。

無料の練習問題やさしい
R1​ = 12 ΩIR1​R2​ = 10 Ω+−V1​8 VR3​4 ΩA+−V2​6 V

節点解析を使って 矢印の向きに R1 を流れる電流 IR1 を求めよ。

V1 = 8 VV2 = 6 VR1 = 12 ΩR2 = 10 ΩR3 = 4 Ω
A
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練習する内容

  1. やさしい未知節点 1 個
  2. ふつう未知節点 2 個
  3. むずかしい節点 2 個・電源 3 個

節点解析の問題の解き方

  1. 基準節点（接地）を選び、ほかの節点電圧に名前をつけます。
  2. 未知の各節点でキルヒホッフの電流則を書きます：各枝から出ていく電流の和は入ってくる電流の和に等しくなります。
  3. 各枝電流を (Va − Vb)/R で表します。
  4. 連立方程式を解き、必要な電流を求めます。

よくある間違い

  • 2 つの節点方程式で枝電流の符号を取り違える。
  • 基準節点についても方程式を書いてしまう。
  • 節点に出入りする電流源を忘れる。

重要な公式

キルヒホッフの電流則
ΣIin = ΣIout
枝電流
I = (Va − Vb)/R
基準節点
Vground = 0

節点解析をゼロから学ぶ

事前に学ぶこと： 抵抗の直列・並列

1節点解析とは

節点解析は、回路のすべての電圧を求める標準的な方法です。直列・並列の規則では足りないときでも使えます。

節点は、回路の 2 つ以上の部分が出会う点です。導線が続く区間全体は 1 つの節点として数えます。導線に沿った電圧降下はないからです。

1 つの節点を基準（グランドとも）に選び、0 V とします。他のすべての節点の電圧は、この節点から測ります。

海面から測った、地図上の高さを考えましょう。水は高いところから低いところへ流れ、管を流れる量は両端の高さの差に依存します。

節点電圧がわかれば、オームの法則からすべての電流が得られます。つまり、必要な未知数は節点電圧だけです。

セルフチェック 定義により電圧が 0 V になる節点はどれか。
  1. 抵抗が最も多くつながる節点
  2. 最も大きい電源の隣の節点
  3. 自分で選んだ基準節点（グランド）
  4. 電源のないすべての節点

答え: 自分で選んだ基準節点（グランド）. 基準節点は自分で選び、0 V とします。他のすべての節点の電圧は、そこから測ります。

2キルヒホッフの電流則

電荷は、節点にたまることはできません。したがって、節点に流れ込む電流はすべて、再びそこから流れ出なければなりません。これがキルヒホッフの電流則（KCL）です。

ΣIin = ΣIout

たとえば、3 A と 2 A が節点に流れ込むなら、合計 5 A が他の枝を通ってそこから出ていかなければなりません。

各抵抗の電流は、その両端の電圧を使って、オームの法則で書きます：

Va​Vb​RI
I = (Va − Vb) / R

これは a から b への電流です。結果が負なら、電流は実際には b から a へ流れています。それで構いません。符号を残しましょう。

セルフチェック 節点 a は 9 V、節点 b は 4 V である。5 Ω の抵抗が両者をつないでいる。a から b へ流れる電流はいくらか。
  1. 1 A
  2. 1.8 A
  3. 2.6 A
  4. −1 A

答え: 1 A. I = (9 − 4)/5 = 1 A です。電圧を足すと 2.6 A、入れ替えると −1 A、b の電圧を無視すると 1.8 A になります。

3ステップごとの方法

  1. 基準節点を選びます。下側の導線がふつうの選び方です。グランド記号を付けます。
  2. 電圧がすでにわかっている節点を探します。電圧源でグランドにつながる節点は、その電源の電圧になります。
  3. 他のすべての節点に名前を付けます（A、B、…）。その電圧 VA、VB、… が未知数です。
  4. 未知の節点ごとに KCL を書きます：抵抗を通って出ていく電流の和は、電流源が送り込む電流に等しくなります。
  5. 各抵抗の電流を (V節点 − V他端)/R と書き、式を解きます。
  6. オームの法則で、問題が求める枝の電流を求めます。

すべての抵抗の電流を、節点から出ていくものとして書けば、符号は自動的に決まります。実際の向きを先に推測する必要はありません。

未知の節点 1 つにつき、式が 1 つ必要です。基準節点には式を書きません。その電圧はすでにわかっているからです。

4例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

例題

節点電圧 VA と、R1 を電源から A へ向かって流れる電流 IR1 を求めよ。

1

回路を見る

+−V1​15 VR1​ = 3 ΩR2​6 ΩIs​1 AA15 VVA​ ?

下側の導線がグランドです。V1 の上側はグランドより 15 V 高いので、その節点は既知で、15 V です。

未知なのは節点 A だけなので、式は 1 つ必要です。

2

A で KCL を書く

A から 2 つの抵抗が出ています：R1 は 15 V の節点へ、R2 はグランドへ向かいます。電流源が 1 A を A に送り込みます。

(VA − 15)/3 + VA/6 = 1
3

VA について解く

分数を消すために、両辺に 6 を掛けます。

2·(VA − 15) + VA = 6
3·VA − 30 = 6 ⇒ VA = 12 V
4

R₁ の電流を求める

IR1 = (15 − 12)/3 = 1 A

結果は正なので、1 A は実際に電源から A へ流れています。

5

答えを確認する

+−V1​15 VR1​ = 3 ΩR2​6 ΩIs​1 AA15 V1 A2 A

R2 には 12/6 = 2 A がグランドへ流れます。A には、R1 を通って 1 A、電流源から 1 A が流れ込みます。

流入 2 A、流出 2 A なので、A で KCL が成り立ちます。

答え

VA = 12 V、IR1 = 1 A。

5未知の節点が 2 つ

未知の節点が 2 つあるときは、各節点で KCL の式を 1 つずつ書き、2 つの式を連立して解きます。

+−V1​6 VR1​ = 2 ΩR3​ = 3 ΩR2​3 ΩR4​3 ΩIs​2 AAB

節点 A からは 3 つの抵抗が出ています：R1、R2、R3。節点 B からは 2 つの抵抗が出ており、電流源が 2 A を送り込みます。

A: (VA − 6)/2 + VA/3 + (VA − VB)/3 = 0
B: (VB − VA)/3 + VB/3 = 2

最初の式に 6、2 番目の式に 3 を掛けます：

7·VA − 2·VB = 18
−VA + 2·VB = 6

2 つの式を足します。VB の項は打ち消し合うので、6·VA = 24 です。

VA = 4 V, VB = 5 V

R3 は両方の式に現れることに注目しましょう。A では (VA − VB)、B では (VB − VA) です。これは、式が正しいかを確かめる簡単な方法です。

6よくある間違い

  • 共有抵抗の符号を取り違える：A では (VA − VB) ですが、B では (VB − VA) です。
  • 節点に流入または流出する電流源を忘れる。
  • 基準節点に KCL の式を書く、または既知の節点を未知として扱う。
  • 負の電流のマイナス記号を落とす。負の結果は、電流が矢印と逆向きに流れることを意味します。
セルフチェック 節点 A で、1 つの 4 Ω の抵抗はグランドへ、もう 1 つの 4 Ω の抵抗は 12 V の節点へつながっている。2 A の電源が A に電流を送り込む。VA はいくらか。
  1. 10 V
  2. 12 V
  3. 2 V
  4. 6 V

答え: 10 V. (VA − 12)/4 + VA/4 = 2 より 2·VA − 12 = 8 なので、VA = 10 V です。電源を忘れると 6 V、電源を A から出ていくものとして扱うと 2 V になります。

7試験問題の例

  • やさしい：未知の節点 A が 1 つで、電圧源と、電流源または 2 つ目の電圧源があります。KCL の式 1 つで足ります。
  • ふつう：未知の節点 A と B が 2 つで、B に電流源があります。2 つの式を立てて連立して解きます。
  • むずかしい：未知の節点が 2 つで、電源が 3 つ（電圧源 2 つと電流源 1 つ）。方法は同じで、項が増えます。

問題は、節点電圧、または矢印の向きに 1 つの抵抗を流れる電流を求めます。

枝の電流を求めるには、まず節点電圧を求めます。次に、矢印に沿って I = (V始点 − V終点)/R を使います。

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解答例

例題 1やさしい
R1​8 Ω+−V1​20 VR2​3 Ω+−V2​18 VR3​2 Ω+−V3​8 VA

図のように、節点 A と接地の間に 3 本の枝が接続されている。節点解析を使って節点電圧 VA を求めよ。

V1 = 20 VR1 = 8 ΩV2 = 18 VR2 = 3 ΩV3 = 8 VR3 = 2 Ω

求めるもの： VA (V)

ヒントを表示
  1. 未知なのは節点 A だけです。KCL の式を 1 つ立てます：A から流れ出る枝電流の和は 0 です。
  2. 各枝電流は (VA − Vk)/Rk です。VA の項を片側にまとめます。
  3. Σ1/R = 0.9583 S.
答えとステップごとの解答を表示

節点解析：基準節点を選び、未知の節点電圧に名前をつけ、オームの法則 (I = ΔV/R) を使って各未知節点でキルヒホッフの電流則を立て、連立方程式を解きます。

節点 A の KCL

下の配線を接地とします。各枝は A から (VA − Vk)/Rk の電流を流し出します。Vk はその枝の電源電圧です（単なる抵抗なら 0）。A から流れ出る電流の和は 0 です。

(VA − 20)/8 + (VA − 18)/3 + (VA − 8)/2 = 0

VA について解く

VA = (20/8 + 18/3 + 8/2) / (1/8 + 1/3 + 1/2) = 12.5/0.9583 = 13.04 V

答え

VA = 13.04 V
例題 2ふつう
−+Vs​ = 3 VIx​Is​1.5 AAR1​6 ΩR2​3 ΩB

A と B の間の電圧源 Vₛ は + 端子が B にあるので、VB − VA = Vₛ となります。 スーパーノードを用いた節点解析で、矢印のとおり A から B へ電圧源を流れる電流 Ix を求めよ。

Is = 1.5 AVs = 3 VR1 = 6 ΩR2 = 3 Ω

求めるもの： Ix (A)

ヒントを表示
  1. 接地されていない 2 つの節点の間の電圧源は、それらの差を決めます：VB − VA = Vs。
  2. A、B と電源を囲むスーパーノードについて 1 つの KCL の式を立てます：VA/R₁ + VB/R₂ = Is。
  3. VA = 1 V.
答えとステップごとの解答を表示

節点解析：基準節点を選び、未知の節点電圧に名前をつけ、オームの法則 (I = ΔV/R) を使って各未知節点でキルヒホッフの電流則を立て、連立方程式を解きます。

スーパーノードをつくる

A と B の間の電圧源には未知の電流が流れるので、A と B で別々に KCL を立てることはできません。A、B と電源を 1 つのスーパーノードで囲みます：流れ込む電流は流れ出る電流に等しくなります。

VB = VA + Vs = VA + 3
VA/R1 + VB/R2 = Is

解く

VA/6 + (VA + 3)/3 = 1.5
VA = (1.5 − 3/3)/(1/6 + 1/3) = 1 V
VB = 1 + 3 = 4 V

電圧源を流れる電流

電源を A から B へ通るものはすべて、R₂ を通って節点 B から流れ出ます。

Ix = VB/R2 = 4/3 = 1.333 A

答え

Ix = 1.333 A

結果が負なら、実際の電流は矢印と逆向きに流れています。

例題 3むずかしい
R1​ = 20 ΩR2​ = 20 ΩR4​ = 20 ΩIR4​+−V1​6 VR3​30 ΩAR5​30 ΩBIs​0.5 A+−V2​9 V

節点解析を使って 矢印の向きに R4 を流れる電流 IR4 を求めよ。

V1 = 6 VIs = 0.5 AV2 = 9 VR1 = 20 ΩR2 = 20 ΩR3 = 30 ΩR4 = 20 ΩR5 = 30 Ω

求めるもの： IR4 (A)

ヒントを表示
  1. 下の導線を接地 (0 V) とします。電圧源に直接つながる節点はすでにわかっているので、未知数は VA と VB です。
  2. A で KCL を立てます：各抵抗について (VA − V他端)/R とし、その和を A に流れ込む電源電流と等しくおきます。
  3. 解くと VA = 2.455 V。次に IR4 =（矢印の根元の電圧 − 先端の電圧）/R4。
答えとステップごとの解答を表示

節点解析：基準節点を選び、未知の節点電圧に名前をつけ、オームの法則 (I = ΔV/R) を使って各未知節点でキルヒホッフの電流則を立て、連立方程式を解きます。

R1​ = 20 ΩR2​ = 20 ΩR4​ = 20 Ω+−V1​6 VR3​30 ΩAR5​30 ΩBIs​0.5 A+−V2​9 V

節点を設定する

接地は下の導線です。既知の節点電圧は電源から直接わかります（V1 = 6 V, V2 = 9 V）。未知数：VA, VB。

節点 A の KCL

抵抗を通って A から流れ出る電流は、電源が A に流し込む電流に等しくなります。

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/30 + (VA − 6)/20 + (VA − VB)/20 = 0
0.1333·VA − 0.05·VB = 0.3

節点 B の KCL

抵抗を通って B から流れ出る電流は、電源が B に流し込む電流に等しくなります。

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/30 + (VB − VA)/20 + (VB − 9)/20 = (−0.5)
−0.05·VA + 0.1333·VB = −0.05

解く

Δ = (0.1333)(0.1333) − (−0.05)(−0.05) = 0.01528
VA = Δ1/Δ = 0.0375/0.01528 = 2.455 V
VB = Δ2/Δ = 0.008333/0.01528 = 0.5455 V

答え

IR4 = (VB − V2)/R4 = (0.5455 − 9)/20 = −0.4227 A

質問と回答

節点解析とは？

節点解析は、回路のすべての電圧を求める標準的な方法です。直列・並列の規則では足りないときでも使えます。

1 つの節点を基準（グランドとも）に選び、0 V とします。他のすべての節点の電圧は、この節点から測ります。

節点解析の問題の解き方は？（手順）
  1. 基準節点（接地）を選び、ほかの節点電圧に名前をつけます。
  2. 未知の各節点でキルヒホッフの電流則を書きます：各枝から出ていく電流の和は入ってくる電流の和に等しくなります。
  3. 各枝電流を (Va − Vb)/R で表します。
  4. 連立方程式を解き、必要な電流を求めます。
節点解析でよくある間違いは？
  • 2 つの節点方程式で枝電流の符号を取り違える。
  • 基準節点についても方程式を書いてしまう。
  • 節点に出入りする電流源を忘れる。
節点解析の練習では何を学ぶ？
  • やさしい: 未知節点 1 個
  • ふつう: 未知節点 2 個
  • むずかしい: 節点 2 個・電源 3 個

問題ごとに数値が変わるので、答えではなく解き方が身につきます。 行き詰まったら、まず小さなヒントを開き、必要なときだけ詳しい解説を見ましょう。

練習のしかた

  • 問題ごとに数値が変わるので、答えではなく解き方が身につきます。
  • 行き詰まったら、まず小さなヒントを開き、必要なときだけ詳しい解説を見ましょう。
  • 進捗、間違えた問題、保存した問題は記録されるので、試験前に復習できます。

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このトピックを含む科目

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