安定性：ラウス・フルビッツ法と根軌跡：ステップごとの解答つき練習問題

1安定性とは何か

すべての有界な入力に対して出力が有界であるとき、システムは安定です。外乱のあと、安定なシステムは落ち着きます。不安定なシステムは発散するか、振幅が増大しながら振動します。

挙動を決めるのは、閉ループの極、すなわち特性多項式の根です。s = p にある極は、応答に項 e^pt を加えます。

• 実部が負の極（左半平面）は、減衰して消える項を与えます。
• 実部が正の極（右半平面）は、限りなく増大する項を与えます。
• したがって、システムが安定になるのは、すべての極が左半平面にあるときだけです。

2ラウス表

3 次以上の式では、根を手計算で求めるのは大変です。ラウス・フルビッツの安定判別法を使えば、根を解かなくても、右半平面に根がいくつあるかがわかります。

係数を、最初の 2 行に交互に書き入れます。s³ + a₂s² + a₁s + a₀ では：

新しい各行は、その上の 2 行から作ります。3 次式では、s¹ の要素は次のとおりです：

第 1 列の符号変化の回数は、右半平面にある根の個数に等しくなります。

例：s³ + 2s² + 3s + 10。第 1 列は 1、2、(2·3 − 10)/2 = −2、10 です。符号は +、+、−、+ と並び、変化は 2 回なので、右半平面に極が 2 個あります。

3ステップごとの方法

1. 閉ループの特性方程式 1 + K·G(s) = 0 を書き、展開して多項式にします。
2. ラウス表の最初の 2 行に、係数を書き入れます。
3. 残りの行を作ります。K が現れる場合は、記号のまま残します。
4. 第 1 列の符号変化を数えるか、第 1 列のすべての要素が正になることを条件にして、K の許される範囲を求めます。
5. 限界のゲインでは、s¹ の行が 0 になります。このとき s² の行から補助方程式 a·s² + b = 0 が得られ、その根 ±jω が振動の周波数を示します。

3 次式 s³ + a₂s² + a₁s + a₀ の簡単な判定：安定になるのは、すべての係数が正で、かつ a₂·a₁ > a₀ のときに限ります。

4例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

5根軌跡

根軌跡は、K を 0 から ∞ まで変えたときに、閉ループ極がどう動くかを示します。開ループ極（×）から始まり、開ループ零点（○）または無限遠で終わります。

• 実軸上の点は、その右側にある実極と実零点の個数の合計が奇数のとき、軌跡上にあります。
• 無限遠へ向かう n − m 本の枝は、角度 (2q + 1)·180°/(n − m) の漸近線に沿います。
• 漸近線は、重心 σ_a = (極の和 − 零点の和)/(n − m) から出ます。
• 枝は dK/ds = 0 となる点で実軸から離れたり、実軸に合流したりします。実軸上では K = −1/G(s) です。
• 軌跡上の任意の点 s でのゲインは K = 1/|G(s)| で、極までの距離の積を零点までの距離の積で割ったものです。

L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4)) では、重心は (0 − 2 − 4)/3 = −2 で、漸近線は 60°、180°、300° の方向に出ます。

0 と −2 の間の分岐点は dK/ds = 0 から求まります：3s² + 12s + 8 = 0 より s = −0.845。

6よくある間違い

• 係数がすべて正だからといって、システムを安定とすること。3 次以上では、ラウスの判定も必要です。
• 制御対象の定数項を忘れること：K/((s + a)(s + b)(s + c)) では、s⁰ の係数は K ではなく abc + K です。
• 3 つ目の極や零点が軌跡を引き寄せているのに、2 つの極の中点を分岐点とすること。
• 重心の計算で符号を落とすこと：因数 (s + 4) は s = −4 の極です。

7試験問題の例

• やさしい：ラウス表と極の個数。3 次式や 4 次式の右半平面の極の個数、表の 1 つの要素、1 次の制御対象での閉ループ極、あるいはそれを指定の点に置くゲインを求めます。
• ふつう：K の範囲。安定な最大のゲイン、そのゲインでの振動周波数、不安定な制御対象を安定化する最小のゲイン、あるいはゲインをどこまで上げられるかを求めます。
• むずかしい：根軌跡。漸近線の重心、虚軸との交点、分岐点と合流点、複素極からの出発角、あるいはある点や減衰比でのゲインを求めます。

ある減衰比でのゲインを求めるには、特性多項式を書き、s² + 2ζω_ns + ω_n² と比べます。