ラプラス変換やさしい
ある信号 f(t) のラプラス変換が F(s) = 28/(s(s² + 2s + 23)) である。最終値の定理を用いて、f(t) が落ち着く値 f(∞) を求めよ。
F(s) = 28/(s(s² + 2s + 23))
求めるもの： f(∞)
ヒントを表示
- 最終値の定理：f(∞) = lim s·F(s)（s → 0）。
- まず、s·F(s) のすべての極が左半平面にあることを確認しましょう。そうなら f(t) は確かに一定値に落ち着きます。
- s·F(s) = 28/(s² + 2s + 23).
答えとステップごとの解答を表示
ラプラス変換：F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt は、微分を s の掛け算に変えます：ℒ{f′} = sF(s) − f(0)、ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)。基本的な変換対：1 ↔ 1/s、e−at ↔ 1/(s + a)、t·e−at ↔ 1/(s + a)²、sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)、cos ωt ↔ s/(s² + ω²)。また、s → s + σ のシフトは、時間関数に e−σt を掛けることに対応します。有理式 F(s) を逆変換するには部分分数に分解します。単極 p の留数は A = [(s − p)·F(s)] の s = p での値です。最終値の定理：f(∞) = lims→0 s·F(s)。これは s·F(s) のすべての極が左半平面にあるときに限り成り立ちます。初期値の定理：f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)。
定理が使えるか確認する
この定理は f(t) が一定値に落ち着く場合にだけ成り立ちます。虚軸上や右半平面に極があると、誤った答えになります。
s·F(s) の極：s² + 2s + 23 = 0。すべて左半平面にあります。
最終値
f(∞) = lims→0 s·F(s) = lims→0 28/(s² + 2s + 23) = 28/23 = 1.217
答え
f(∞) = 1.217