ラウス・フルビッツの安定判別法の計算ツール
値を入力してください。入力に合わせて答えと詳しい解答が更新されます。
結果
安定性不安定
右半平面の根2
虚軸上の根0
左半平面の根2
第 1 列の符号変化2
| 列 1 | 列 2 | 列 3 | |
|---|---|---|---|
| s⁴ | 1 | 3 | 5 |
| s³ | 2 | 4 | 0 |
| s² | 1 | 5 | 0 |
| s¹ | −6 | 0 | 0 |
| s⁰ | 5 | 0 | 0 |
特性多項式から線形システムの安定性を調べます。計算ツールは、正確な分数でラウス表を作り、第 1 列のゼロ（ε 法）や、ゼロばかりの行（補助多項式）を処理し、符号の変化を数えて、右半平面、虚軸上、左半平面の根の個数を求めます。
ステップごとの解答
特性多項式
s⁴ + 2s³ + 3s² + 4s + 5 = 0
すべての係数があり、同じ符号です：これは安定のための必要条件ですが、十分条件ではありません。
最初の 2 行
s4: 1, 3, 5
s3: 2, 4, 0
次の行
新しい各要素：(b₁·a_(j+1) − a₁·b_(j+1))/b₁。a は 2 つ上の行、b は 1 つ上の行です。
s2: 1, 5, 0
s1: −6, 0, 0
s0: 5, 0, 0
第 1 列の符号の変化を数える
第 1 列: 1, 2, 1, −6, 5
符号: + + + − +
2 符号の変化 → 2 個の根が右半平面にある
重要な公式
- 安定性
- 特性多項式のすべての根が左半平面にある
- ラウス表、3 次式の s¹ の要素
- b1 = (a2a1 − a3a0)/a2
- 右半平面の根
- 第 1 列の符号変化の回数
- 3 次式 s³ + a₂s² + a₁s + a₀
- すべての a > 0 かつ a₂·a₁ > a₀ のとき安定
- 固有方程式
- 1 + K·G(s) = 0
ラウス・フルビッツの判別法の使い方
- 特性多項式を、s の最高次から順にすべての次数を使って書きます。係数が欠けていたり、符号が異なっていたりすると、系は安定ではありえません。
- 第 1 行に 1 番目、3 番目、5 番目、…の係数を、第 2 行に 2 番目、4 番目、6 番目、…の係数を入れます。
- 次の各要素は、その上の 2 つの行を使って (b₁·a_(j+1) − a₁·b_(j+1))/b₁ です。
- 第 1 要素がゼロでも行全体がゼロでない場合は、小さな ε > 0 で置き換えます。行全体がゼロの場合は、1 つ上の行から作った補助多項式の導関数で置き換えます。
- 第 1 列の符号の変化の数は、右半平面の根の個数に等しくなります。
質問と回答
ゼロばかりの行は何を意味しますか？
多項式が、原点について対称な根をもつことを意味します：±a、±jω の対、または 4 つ組です。1 つ上の行から作った補助多項式がちょうどそれらの根を含み、虚軸上の根があれば、系は良くても限界安定です。
ε 法は常に信頼できますか？
根が虚軸上にあるときは信頼できません。そのため計算ツールは、対称な根をすべて含む P(s) と P(−s) の共通因数も分離し、その虚軸上の根を正確に数えます。それで個数が変わる場合は、途中式で示します。
安定になる K の範囲はどう求めますか？
ゲイン K を係数に入れて、表を文字式で作り、第 1 列のすべての要素が正になる条件を求めます。この計算ツールは数値で計算するので、求めた限界の両側にある K の値を確認するのに使えます。
ラウス表が安定なら、良い設計といえますか？
すべての極が左半平面にあることを示すだけです。応答の速さや減衰の良さは極の位置で決まるので、そのためには根軌跡やボード線図を使ってください。
自分で練習する
安定性：ラウス・フルビッツ法と根軌跡を練習
計算ツールは答えを出してくれます。でも試験で必要なのは解き方です。新しい問題、ヒント、解答で練習しましょう。