ステップ応答：ステップごとの解答つき練習問題

図、ヒント、詳しい解答つきの無料のステップ応答練習問題。毎回新しい数値で、3 つのレベル：1 次系, 2 次系のパラメータ, 物理系と設計。

無料の練習問題やさしい
+−5 VR = 4.7 kΩC = 47 µFvC​

充電されていないコンデンサ C = 47 µF を、5 V のステップ電源から抵抗 R = 4.7 kΩ を通して充電する。 t = 220.9 ms におけるコンデンサ電圧 vC を求めよ。

R = 4.7 kΩC = 47 µFV = 5 Vt = 220.9 ms
V
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練習する内容

  1. やさしい1 次系
  2. ふつう2 次系のパラメータ
  3. むずかしい物理系と設計

ステップ応答をゼロから学ぶ

事前に学ぶこと： RC・RL 過渡現象, ラプラス変換

1ステップ応答とは何か

ステップは、t = 0 で 0 から一定値に跳ね上がり、そのままになる入力です。ヒーターのスイッチを入れる、あるいはアクセルを踏んだままにすることを考えてください。

ステップ応答は、出力がどう追従するかです。出力は一度には跳ねられず、新しい最終値 y(∞) に向かって動き、そこに落ち着きます。

tyy(∞)ab

曲線 a はなめらかに上昇し、行き過ぎません。これは RC 回路や加熱されるタンクのような1 次系です。

曲線 b は行き過ぎ、数回振れ、それから落ち着きます。これは自動車のサスペンションやばねについたおもりのような、不足減衰の2 次系です。

最終値は直流利得 G(0) から決まります：大きさ U のステップは、y(∞) = G(0)·U に落ち着きます。これはラプラス変換の最終値定理です。

セルフチェック 系 G(s) = 3/(2s + 1) に大きさ 4 のステップが入ります。最終値 y(∞) はいくらですか？
  1. 12
  2. 3
  3. 4
  4. 6

答え: 12. G(0) = 3/(0 + 1) = 3 なので、y(∞) = 3·4 = 12 です。4 は利得を忘れた値、3 はステップの大きさを忘れた値、6 は s = 0 で消える 2s の 2 で割った値です。

21 次系

1 次系は、下の標準形をもちます。K は静的利得、τ は秒単位の時定数です。

G(s) = K/(τs + 1) y(t) = K·U·(1 − e−t/τ)

G(s) が b/(s + a) と書かれているなら、分子と分母を a で割ります。すると K = b/a、τ = 1/a です。

ty(t)K·U0.63·K·Uτ2τ3τ4τ5τ
  • 1τ 後に出力は変化の 63% を終え、3τ 後に 95%、5τ 後に 99% 以上になります。
  • 最終値の割合 x に達する時間：t = −τ·ln(1 − x)。90% では、t = τ·ln 10 = 2.3τ です。
  • 10〜90% の立ち上がり時間は tr = τ·ln 9 ≈ 2.2τ です。
  • RC 回路では τ = R·C です。kΩ と µF の積はミリ秒になることに注意しましょう。

応答を測定すれば、τ を逆算できます。時刻 t に出力が割合 x に達したなら、τ = −t/ln(1 − x) です。

例題

G(s) = 10/(s + 5) に、t = 0 で大きさ 2 のステップが入ります。最終値と、その 90% に達する時間を求めなさい。

1

標準形

分子と分母を 5 で割ります：

G(s) = 2/(0.2s + 1) ⇒ K = 2, τ = 0.2 s
2

最終値

y(∞) = K·U = 2·2 = 4
3

90% に達する時間

1 − e−t/τ = 0.9、すなわち e−t/τ = 0.1 を解きます：

t = −τ·ln(0.1) = 0.2·2.303 = 0.461 s
答え

y(∞) = 4 で、出力は t ≈ 0.461 s 後に 90% に達します。

セルフチェック G(s) = 10/(s + 5) の時定数はいくらですか？
  1. 0.2 s
  2. 10 s
  3. 2 s
  4. 5 s

答え: 0.2 s. 2/(0.2s + 1) と書くと、時定数は τ = 1/5 = 0.2 s です。5 s は τ と a を混同した値で、2 は利得 K であり、時間ではありません。

32 次系

2 次系の分母は 2 次式です。標準形と比べます：

G(s) = K/(s² + 2ζωns + ωn²)
  • 定数項は ωn² なので、固有角周波数は ωn = √（定数項）で、rad/s です。
  • s の係数は 2ζωn なので、減衰比は ζ = （s の係数）/(2ωn) です。
  • 0 < ζ < 1 では、応答は行き過ぎ、振動します。ζ が小さいほど、行き過ぎ量は大きくなります。

単位ステップでは、最終値は G(0) = K/ωn² です。応答の形は 5 つの数で表されます：

ty(t)y(∞)tp​ymax​%OSts​
ωd = ωn·√(1 − ζ²) tp = π/ωd
%OS = 100·e−ζπ/√(1 − ζ²) ts ≈ 4/(ζωn)
  • ωd は減衰角周波数で、応答がどれだけ速く振動するかを表します。
  • tp はピーク時間で、出力が最も高くなる時刻です。%OS は、最終値を超える百分率オーバーシュートです。
  • ts は整定時間で、その後は出力が最終値の 2% 以内にとどまります。
ReImσjωd​ωn​θ

2 つの極は s = σ ± jωd で、実部は σ = −ζωn です。原点からの距離は ωn で、cos θ = ζ です。

セルフチェック ある系の分母は s² + 4s + 25 です。減衰比 ζ はいくらですか？
  1. 0.08
  2. 0.4
  3. 0.8
  4. 2

答え: 0.4. ωn = √25 = 5 で、2ζωn = 4 から ζ = 4/(2·5) = 0.4 です。0.8 は 2 を忘れた値、0.08 は ωn ではなく ωn² で割った値、2 は ζωn です。

4ステップごとの方法

  1. 次数を決めます：分母が 1 次なら 1 次系、2 次なら 2 次系です。
  2. 1 次系：G(s) を K/(τs + 1) と書き、K と τ を読み取ります。
  3. 2 次系：分母を s² + 2ζωns + ωn² と比べます。先に ωn を、次に ζ を求めます。
  4. 最終値 y(∞) = G(0)·U を求めます。
  5. 問われているものの式を使います：y(t)、時間、tp、%OS、ts、または σ。
  6. 単位を確認します：時間は秒、ω は rad/s、そして e… や π の式の中の角度はラジアンです。

5例題

これは典型的な「ふつう」の問題です。開く前に、各ステップを試してみましょう。

例題

G(s) = 16/(s² + 4s + 16) に単位ステップが入ります。ζ、ωn、百分率オーバーシュート、ピーク時間を求めなさい。

1

固有振動数

定数項は ωn² = 16 です。

ωn = √16 = 4 rad/s
2

減衰比

s の係数は 2ζωn = 4 です。

ζ = 4/(2·4) = 0.5

ζ は 0 と 1 の間なので、応答は行き過ぎます。

3

百分率オーバーシュート

ζπ/√(1 − ζ²) = 0.5·π/√0.75 = 1.814
%OS = 100·e−1.814 = 16.3%
4

ピーク時間

ωd = 4·√(1 − 0.25) = 3.464 rad/s
tp = π/3.464 = 0.907 s
5

答えを確認する

最終値は G(0) = 16/16 = 1 なので、ピークはおよそ 1.163 です。前の節の図は、この同じ系を使っています。

整定時間 4/(ζωn) = 4/2 = 2 s はピークより後で、当然そうなります。

答え

ωn = 4 rad/s、ζ = 0.5、%OS ≈ 16.3%、tp ≈ 0.907 s。

6よくある間違い

  • 立ち上がりを直線的とみなすこと。指数関数が 90% に達するのは 0.9τ 後ではなく 2.3τ 後です：t = −τ·ln(1 − x) を使います。
  • ln(1 − x) の代わりに ln(x) を使うこと。対数は、まだ足りない部分をとります。
  • b/(s + a) から τ = a と読むこと。時定数は 1/a です。
  • ωn² を ωn として使うこと。定数項の平方根をとります。
  • 2ζωn の 2 を忘れる、または tp = π/ωd で ωd の代わりに ωn を使うこと。
  • パーセントを問われているのに、オーバーシュートを分数（0.163）で答えること（16.3%）。
セルフチェック G(s) = 2/(s + 4) にステップが入ります。出力が最終値の 90% に達するまでにどれだけかかりますか？
  1. 0.026 s
  2. 0.225 s
  3. 0.576 s
  4. 9.21 s

答え: 0.576 s. τ = 1/4 = 0.25 s で、t = −0.25·ln(0.1) = 0.576 s です。0.225 s は立ち上がりを直線的（0.9τ）とみなした値です。0.026 s は ln(0.1) の代わりに ln(0.9) を使った値です。9.21 s は τ の代わりに a = 4 を使った値です。

7試験問題の例

  • やさしい：1 次系。y(∞)、ある時刻での出力、ある割合に達する時間、測定点からの τ、あるいは RC 回路の充電時間を求めます。
  • ふつう：2 次系のパラメータ。G(s) = K/(s² + a₁s + a₀) から、ζ、ωn、%OS、tp、ts、または極の実部 σ を求めます。
  • むずかしい：物理系と設計。質量・ばね・ダンパー系または RLC 回路、あるいは測定したオーバーシュートとピーク時間から逆算した ζ と ωn。

質量 m、ダンパー c、ばね k の系では、方程式 m·x″ + c·x′ + k·x = F から次が得られます：

ωn = √(k/m) ζ = c/(2√(k·m)) x(∞) = F/k

オーバーシュートから逆算するには、%OS の式を ζ について解きます：

ζ = −ln(OS)/√(π² + ln²(OS)), OS = %OS/100

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解答例

例題 1やさしい
t (s)y(t)y(∞) = ?

1 次系 G(s) = 2/(2s + 1) に、t = 0 で大きさ 2 のステップ入力を加える。系は静止状態から始まる。 出力の最終値 y(∞) を求めよ。

G(s) = 2/(2s + 1)U = 2

求めるもの： y(∞)

ヒントを表示
  1. 最終値の定理：y(∞) = lim s·G(s)·U/s = G(0)·U。
  2. G(0) は直流ゲインです。
  3. G(0) = 2.
答えとステップごとの解答を表示

ステップ応答：1 次系 G(s) = K/(τs + 1) は、大きさ U のステップに対して y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) と応答します。時定数 τ の後に最終値 K·U の 63.2 %、4τ の後に 98 % に達します。2 次系 G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) の極は s = −ζωₙ ± jωd（ωd = ωₙ√(1 − ζ²)）です。0 < ζ < 1 のとき、ステップ応答にはオーバーシュートがあります：オーバーシュート率 %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)、ピーク時間 tp = π/ωd、2 % 整定時間 ts ≈ 4/(ζωₙ)。分母を s² + 2ζωₙs + ωₙ² と比べると、ωₙ と ζ が読み取れます。質量・ばね・ダンパでは ωₙ = √(k/m)、ζ = c/(2√(km))、直列 RLC 回路では ωₙ = 1/√(LC)、ζ = (R/2)·√(C/L) です。

直流ゲイン

G(0) = 2

最終値

y(∞) = G(0)·U = 2·2 = 4

答え

y(∞) = 4
例題 2ふつう
t (s)y(t)3?

ある系の伝達関数は G(s) = 213/(s² + 8s + 71) で、単位ステップ入力を受ける。 ステップ応答のオーバーシュート率 %OS を求めよ。

G(s) = 213/(s² + 8s + 71)

求めるもの： %OS (%)

ヒントを表示
  1. 分母を s² + 2ζωₙs + ωₙ² と比べます。
  2. ωₙ = √71 = 8.426 rad/s, ζ = 8/(2ωₙ).
  3. ζ = 0.4747.
答えとステップごとの解答を表示

ステップ応答：1 次系 G(s) = K/(τs + 1) は、大きさ U のステップに対して y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) と応答します。時定数 τ の後に最終値 K·U の 63.2 %、4τ の後に 98 % に達します。2 次系 G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) の極は s = −ζωₙ ± jωd（ωd = ωₙ√(1 − ζ²)）です。0 < ζ < 1 のとき、ステップ応答にはオーバーシュートがあります：オーバーシュート率 %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)、ピーク時間 tp = π/ωd、2 % 整定時間 ts ≈ 4/(ζωₙ)。分母を s² + 2ζωₙs + ωₙ² と比べると、ωₙ と ζ が読み取れます。質量・ばね・ダンパでは ωₙ = √(k/m)、ζ = c/(2√(km))、直列 RLC 回路では ωₙ = 1/√(LC)、ζ = (R/2)·√(C/L) です。

標準形と比べる

分母は s² + 2ζωₙs + ωₙ² と一致しなければなりません。

ωₙ² = 71 → ωₙ = 8.426 rad/s
2ζωₙ = 8 → ζ = 8/(2·8.426) = 0.4747

結果

%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) = 100·e−1.694 = 18.37 %

答え

%OS = 18.37 %
例題 3むずかしい
k = 800 N/mc = 9 N·s/mm = 2.5 kgF = 10 Nx(t)

質量 m = 2.5 kg のおもりが、ばね定数 k = 800 N/m のばねと粘性ダンパ c = 9 N·s/m にぶら下がっている（m·x″ + c·x′ + k·x = F）。平衡状態で静止しているところに、一定の力 F = 10 N を突然加える。 変位が最大になる時刻 tp を求めよ。

m = 2.5 kgk = 800 N/mc = 9 N·s/mF = 10 N

求めるもの： tp (s)

ヒントを表示
  1. m で割ります：x″ + (c/m)·x′ + (k/m)·x = F/m なので、ωₙ = √(k/m)、ζ = c/(2√(km))。
  2. ωₙ = 17.89 rad/s, ζ = 0.1006.
  3. 最終的な変位は F/k = 12.5 mm です。
答えとステップごとの解答を表示

ステップ応答：1 次系 G(s) = K/(τs + 1) は、大きさ U のステップに対して y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) と応答します。時定数 τ の後に最終値 K·U の 63.2 %、4τ の後に 98 % に達します。2 次系 G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) の極は s = −ζωₙ ± jωd（ωd = ωₙ√(1 − ζ²)）です。0 < ζ < 1 のとき、ステップ応答にはオーバーシュートがあります：オーバーシュート率 %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)、ピーク時間 tp = π/ωd、2 % 整定時間 ts ≈ 4/(ζωₙ)。分母を s² + 2ζωₙs + ωₙ² と比べると、ωₙ と ζ が読み取れます。質量・ばね・ダンパでは ωₙ = √(k/m)、ζ = c/(2√(km))、直列 RLC 回路では ωₙ = 1/√(LC)、ζ = (R/2)·√(C/L) です。

固有角周波数と減衰比

ωₙ = √(k/m) = √(800/2.5) = 17.89 rad/s
ζ = c/(2√(km)) = 9/(2·√(800·2.5)) = 0.1006

結果

ωd = 17.8 rad/s
tp = π/ωd = 0.1765 s

答え

tp = 0.1765 s

質問と回答

ステップ応答とは？

曲線 a はなめらかに上昇し、行き過ぎません。これは RC 回路や加熱されるタンクのような1 次系です。

曲線 b は行き過ぎ、数回振れ、それから落ち着きます。これは自動車のサスペンションやばねについたおもりのような、不足減衰の2 次系です。

ステップ応答の問題の解き方は？（手順）

ステップ応答：1 次系 G(s) = K/(τs + 1) は、大きさ U のステップに対して y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) と応答します。時定数 τ の後に最終値 K·U の 63.2 %、4τ の後に 98 % に達します。2 次系 G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) の極は s = −ζωₙ ± jωd（ωd = ωₙ√(1 − ζ²)）です。0 < ζ < 1 のとき、ステップ応答にはオーバーシュートがあります：オーバーシュート率 %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)、ピーク時間 tp = π/ωd、2 % 整定時間 ts ≈ 4/(ζωₙ)。分母を s² + 2ζωₙs + ωₙ² と比べると、ωₙ と ζ が読み取れます。質量・ばね・ダンパでは ωₙ = √(k/m)、ζ = c/(2√(km))、直列 RLC 回路では ωₙ = 1/√(LC)、ζ = (R/2)·√(C/L) です。

ステップ応答でよくある間違いは？
  • 出力は U ではなく K·U に落ち着きます：直流ゲインは G(0) = 2 です。
  • オーバーシュートをパーセントで表します：100 を掛けます。
  • 指数部は −ζπ/√(1 − ζ²) です。
ステップ応答の練習では何を学ぶ？
  • やさしい: 1 次系
  • ふつう: 2 次系のパラメータ
  • むずかしい: 物理系と設計

問題ごとに数値が変わるので、答えではなく解き方が身につきます。 行き詰まったら、まず小さなヒントを開き、必要なときだけ詳しい解説を見ましょう。

練習のしかた

  • 問題ごとに数値が変わるので、答えではなく解き方が身につきます。
  • 行き詰まったら、まず小さなヒントを開き、必要なときだけ詳しい解説を見ましょう。
  • 進捗、間違えた問題、保存した問題は記録されるので、試験前に復習できます。

このトピックの前後のトピック

先に学ぶ

RC・RL 過渡現象ラプラス変換

次に学ぶ

定常偏差と PID 制御

このトピックを含む科目

制御工学 1信号とシステム制御工学 2：フィードバック制御の設計メカトロニクスシステムFE Electrical and Computer 試験対策FE Mechanical 試験対策

電気のほかのトピック

抵抗の直列・並列重ね合わせの理テブナン・ノートン節点解析網目解析RC・RL 過渡現象交流インピーダンスとフェーザ交流電力と力率LC 共振、Q 値、帯域幅三相電力変圧器直流モーターオペアンプ回路ダイオードとトランジスタDC-DC コンバータデジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップホイートストンブリッジとひずみゲージデータ収録とサンプリングラプラス変換ブロック線図ボード線図と余裕安定性：ラウス・フルビッツ法と根軌跡定常偏差と PID 制御たたみ込みと LTI システム

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