LC 共振、Q 値、帯域幅：ステップごとの解答つき練習問題

図、ヒント、詳しい解答つきの無料のLC 共振、Q 値、帯域幅練習問題。毎回新しい数値で、3 つのレベル：固有周波数、Q 値、エネルギー, RLC 直列と並列, 設計、損失、減衰。

無料の練習問題やさしい
C = ?L = 4.7 mH

L = 4.7 mH の LC 回路を 50 kHz で共振させます。静電容量 C を nF で求めなさい。

L = 4.7 mHf0 = 50 kHz
nF
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練習する内容

  1. やさしい固有周波数、Q 値、エネルギー
  2. ふつうRLC 直列と並列
  3. むずかしい設計、損失、減衰

LC 共振、Q 値、帯域幅の問題の解き方

  1. まず共振周波数を求めます：ω₀ = 1/√(LC)、f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 回路が直列か並列かを判断します：直列は Q = (1/R)√(L/C)、並列は Q = R√(C/L)。
  3. 帯域幅は BW = f₀/Q で求めるか、近道の公式 R/(2πL)（直列）、1/(2πRC)（並列）を使います。
  4. エネルギーの問題では、理想的な LC 回路の全エネルギー ½CV₀² が一定で、4 分の 1 周期ごとに C と L の間を行き来することを使います。

よくある間違い

  • ω₀（rad/s）と f₀（Hz）を混同する：両者は 2π だけ異なる。
  • 並列回路で直列用の Q の式を使う。並列では R が大きいほど Q は高くなる。
  • f₀ を f₁ と f₂ の中点に置く：実際は両者の幾何平均 √(f₁f₂) である。
  • µH、nF、pF を H と F に換算し忘れる。

重要な公式

固有振動数
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
エネルギー
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
ピーク電流
Imax = V0√(C/L)
Q 値
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC 直列
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC 並列
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
帯域幅
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半電力周波数
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
コイル抵抗 r をもつタンク回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅の減衰
e−Rt/(2L)

LC 共振、Q 値、帯域幅をゼロから学ぶ

事前に学ぶこと： 交流インピーダンスとフェーザ

1LC 回路で何が起こるか

コンデンサを充電してインダクタにつなぎます。コンデンサがコイルに電流を流し、電流は磁界をつくり、コンデンサが空になっても磁界が電流を流し続けるので、コンデンサは逆向きに充電されます。そして、すべてが逆戻りします。

C+−Li

エネルギーは、C の電界（½Cv²）と L の磁界（½Li²）の間を行き来します。振り子が高さと速さの間でエネルギーをやり取りするのと同じです。抵抗がなければ全エネルギー ½CV0² は変わりません。

セルフチェック コンデンサの電圧がゼロの瞬間、理想的な LC 回路のエネルギーはどこにありますか。
  1. すべてインダクタにあり、電流は最大である
  2. すべてコンデンサにある
  3. 半分が C に、半分が L にある
  4. 熱として失われた

答え: すべてインダクタにあり、電流は最大である. v = 0 のときコンデンサには ½Cv² = 0 しかないので、エネルギーはすべて ½Li² としてインダクタにあり、電流は最大です。理想回路には抵抗がないので、何も失われません。

2固有周波数

回路は、L と C のリアクタンスが等しくなる周波数 ωL = 1/(ωC) で振動します：

ω0 = 1/√(LC) f0 = ω0/(2π) = 1/(2π√(LC))

L = 10 mH、C = 1 µF のとき：LC = 10⁻⁸ s²、ω0 = 10 000 rad/s、f0 = 1592 Hz です。エネルギーは周期 T = 1/f0 の 4 分の 1 の時間で C から L に移ります。

エネルギーからピーク電流も求められます：½CV0² = ½LImax² より、Imax = V0√(C/L)。

セルフチェック C を 2 倍にすると f0 はどうなりますか。
  1. 2 倍になる
  2. f0/√2、つまり約 0.71·f0 に下がる
  3. √2 倍に上がる
  4. 半分になる

答え: f0/√2、つまり約 0.71·f0 に下がる. f0 は 1/√C に比例するので、C を 2 倍にすると √2 で割られます。半分になるのは C が 4 倍のときだけです。

3Q 値と帯域幅

実際の回路は抵抗でエネルギーを失います。Q 値（品質係数）は蓄えられたエネルギーと損失を比べます：Q = 2π·（蓄えられたエネルギー）/（1 周期に失われるエネルギー）。Q が高いほど共振のピークは鋭くなります。

f|I|0.707f0​f1​f2​BW

帯域幅は、電流がピークの 0.707 倍になる半電力周波数 f1 と f2 の間のピークの幅です：

BW = f2 − f1 = f0/Q f0 = √(f1·f2)
  • RLC 直列：Q = (1/R)·√(L/C)、BW = R/(2πL)。直列抵抗が小さいほど Q は高くなります。
  • RLC 並列：Q = R·√(C/L)、BW = 1/(2πRC)。並列抵抗が大きいほど Q は高くなります。

4ステップごとの方法

  1. L と C を H と F に換算し、ω0 = 1/√(LC) と f0 = ω0/(2π) を求める。
  2. R が直列か並列かを判断し、それに合った Q の式を使う。
  3. 帯域幅 BW = f0/Q を求める。
  4. 半電力周波数には f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)) を使う。Q が高ければ、f0 ∓ BW/2 でほぼ近似できる。

5例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

例題

RLC 直列回路で R = 10 Ω、L = 10 mH、C = 1 µF です。共振周波数、Q 値、帯域幅、半電力周波数を求めなさい。

1

回路を見る

RLC

3 つの素子には同じ電流が流れるので、これは直列回路です。

2

共振周波数

f0 = 1/(2π√(0.01·10⁻⁶)) = 1/(2π·10⁻⁴) = 1592 Hz
3

Q 値

Q = (1/10)·√(0.01/10⁻⁶) = (1/10)·100 = 10
4

帯域幅

BW = f0/Q = 1592/10 = 159.2 Hz

確認：R/(2πL) = 10/(2π·0.01) = 159.2 Hz。

5

半電力周波数

f1,2 = 1592·(√(1 + 1/400) ∓ 0.05) = 1514 Hz と 1673 Hz

確認：1673 − 1514 = 159 Hz、√(1514·1673) = 1592 Hz。

答え

f0 = 1.59 kHz、Q = 10、BW = 159 Hz、f1 = 1.51 kHz、f2 = 1.67 kHz。

6よくある間違い

  • ω0（rad/s）と f0（Hz）を混同する：両者は 2π だけ異なる。
  • 並列回路で直列用の Q の式を使う。
  • f0 を f1 と f2 の中点に置く：実際は両者の幾何平均である。
  • mH、µH、nF、pF を H と F に換算し忘れる。
セルフチェック RLC 並列回路で R = 10 kΩ、L = 10 mH、C = 1 µF です。Q 値はいくらですか。
  1. 0.01
  2. 10 000
  3. 100
  4. 1

答え: 100. 並列では Q = R·√(C/L) = 10 000·√(10⁻⁴) = 100 です。直列用の式 (1/R)·√(L/C) では 0.01 に、平方根を省くと 1 になってしまいます。

7試験問題の例

  • やさしい：固有周波数、Q 値、エネルギー。f0 や、ある f0 に必要な C、Q から帯域幅、帯域幅から Q、蓄えられたエネルギーやピーク電流を求めます。
  • ふつう：RLC 直列と並列。直列または並列回路の Q 値や帯域幅、正確な半電力周波数、エネルギーが C から L に移るまでの時間、あるコンデンサ電圧での L のエネルギーを求めます。
  • むずかしい：設計、損失、減衰。帯域幅に合わせた R やフィルタ用の C の設計、1 周期あたりの損失エネルギー、タンク回路の動的抵抗、振幅が半分になるまでの周期数、2 つの半電力周波数からの Q を求めます。

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解答例

例題 1やさしい
C = ?L = 47 µH

L = 47 µH の LC 回路を 500 kHz で共振させます。静電容量 C を nF で求めなさい。

L = 47 µHf0 = 500 kHz

求めるもの： C (nF)

ヒントを表示
  1. f₀ = 1/(2π√(LC)).
  2. C = 1/(ω₀²·L).
  3. ω₀ = 2π·500000 = 3.142 × 10⁶ rad/s.
答えとステップごとの解答を表示

LC 共振：充電したコンデンサをインダクタにつなぐと、電流が流れて逆向きに充電されます：エネルギーは、固有周波数 f0 = 1/(2π√(LC)) で C の電界（½Cv²）と L の磁界（½Li²）の間を行き来します。抵抗がなければ全エネルギー ½CV0² は一定なので、ピーク電流は Imax = V0√(C/L) です。1 周期は T = 1/f0 で、エネルギーはその 4 分の 1 の時間で C から L に移ります。

角周波数

ω₀ = 2π·500000 = 3.142 × 10⁶ rad/s

静電容量

C = 1/(ω₀²L) = 1/(9.87 × 10¹²·4.7 × 10⁻⁵) = 2.156 × 10⁻⁹ F = 2.156 nF

答え

C = 2.156 nF
例題 2ふつう
V2 Ω2.2 mH220 nF

RLC 直列回路で R = 2 Ω、L = 2.2 mH、C = 220 nF です。帯域幅 BW を Hz で求めなさい。

R = 2 ΩL = 2.2 mHC = 220 nF

求めるもの： BW (Hz)

ヒントを表示
  1. 帯域幅は f₀/Q です。
  2. RLC 直列ではこれは BW = R/(2πL) と簡単になります：C は消えます。
  3. R/L = 909.1 rad/s.
答えとステップごとの解答を表示

Q 値と帯域幅：共振回路では Q = 2π·（蓄えられたエネルギー）/（1 周期に失われるエネルギー）です。RLC 直列では Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)、RLC 並列では Q = R/(ω0L) = R√(C/L) です。半電力周波数 f1 と f2（電力が半分になり、電流または電圧がピークの 1/√2 になる周波数）の間の帯域幅は BW = f2 − f1 = f0/Q で、直列では R/(2πL)、並列では 1/(2πRC) です。共振周波数は幾何平均 f0 = √(f1f2) で、f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)) です。損失は振動の減衰ももたらします：RLC 直列では振幅は e−Rt/(2L) に従って減ります。

rad/s での帯域幅

R/L = 2/0.0022 = 909.1 rad/s

Hz での帯域幅

BW = 909.1/(2π) = 144.7 Hz = 144.7 Hz

答え

BW = 144.7 Hz

f₀ = 7.234 kHz なので、Q = 50 となります。

例題 3むずかしい
C = 10 nFr = 0.5 ΩL = 47 µH

並列のタンク回路が、10 nF のコンデンサと、巻線抵抗 0.5 Ω の 47 µH のコイルでできています。共振では抵抗のようにふるまい、その動的抵抗は RD = L/(C·r) です。RD を kΩ で求めなさい。

L = 47 µHC = 10 nFr = 0.5 Ω

求めるもの： RD (kΩ)

ヒントを表示
  1. タンク回路は共振で小さな電流しか流さないので、そのインピーダンスは大きくなります。
  2. RD = L/(C·r) = Q²·r.
  3. L/C = 4700 Ω².
答えとステップごとの解答を表示

Q 値と帯域幅：共振回路では Q = 2π·（蓄えられたエネルギー）/（1 周期に失われるエネルギー）です。RLC 直列では Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)、RLC 並列では Q = R/(ω0L) = R√(C/L) です。半電力周波数 f1 と f2（電力が半分になり、電流または電圧がピークの 1/√2 になる周波数）の間の帯域幅は BW = f2 − f1 = f0/Q で、直列では R/(2πL)、並列では 1/(2πRC) です。共振周波数は幾何平均 f0 = √(f1f2) で、f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)) です。損失は振動の減衰ももたらします：RLC 直列では振幅は e−Rt/(2L) に従って減ります。

動的抵抗

RD = 4.7 × 10⁻⁵/(1 × 10⁻⁸·0.5) = 9400 Ω = 9.4 kΩ

Q で確認する

Q = (1/r)·√(L/C) = 137.1, Q²·r = 9400 Ω

答え

RD = 9.4 kΩ

質問と回答

LC 共振、Q 値、帯域幅とは？

コンデンサを充電してインダクタにつなぎます。コンデンサがコイルに電流を流し、電流は磁界をつくり、コンデンサが空になっても磁界が電流を流し続けるので、コンデンサは逆向きに充電されます。そして、すべてが逆戻りします。

エネルギーは、C の電界（½Cv²）と L の磁界（½Li²）の間を行き来します。振り子が高さと速さの間でエネルギーをやり取りするのと同じです。抵抗がなければ全エネルギー ½CV0² は変わりません。

LC 共振、Q 値、帯域幅の問題の解き方は？（手順）
  1. まず共振周波数を求めます：ω₀ = 1/√(LC)、f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 回路が直列か並列かを判断します：直列は Q = (1/R)√(L/C)、並列は Q = R√(C/L)。
  3. 帯域幅は BW = f₀/Q で求めるか、近道の公式 R/(2πL)（直列）、1/(2πRC)（並列）を使います。
  4. エネルギーの問題では、理想的な LC 回路の全エネルギー ½CV₀² が一定で、4 分の 1 周期ごとに C と L の間を行き来することを使います。
LC 共振、Q 値、帯域幅でよくある間違いは？
  • ω₀（rad/s）と f₀（Hz）を混同する：両者は 2π だけ異なる。
  • 並列回路で直列用の Q の式を使う。並列では R が大きいほど Q は高くなる。
  • f₀ を f₁ と f₂ の中点に置く：実際は両者の幾何平均 √(f₁f₂) である。
  • µH、nF、pF を H と F に換算し忘れる。
LC 共振、Q 値、帯域幅の練習では何を学ぶ？
  • やさしい: 固有周波数、Q 値、エネルギー
  • ふつう: RLC 直列と並列
  • むずかしい: 設計、損失、減衰

問題ごとに数値が変わるので、答えではなく解き方が身につきます。 行き詰まったら、まず小さなヒントを開き、必要なときだけ詳しい解説を見ましょう。

練習のしかた

  • 問題ごとに数値が変わるので、答えではなく解き方が身につきます。
  • 行き詰まったら、まず小さなヒントを開き、必要なときだけ詳しい解説を見ましょう。
  • 進捗、間違えた問題、保存した問題は記録されるので、試験前に復習できます。

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