RC・RL 過渡現象：ステップごとの解答つき練習問題

1過渡現象とは

抵抗だけの回路でスイッチを閉じると、すべての電流が新しい値にただちに飛びます。

コンデンサやインダクタがあると、これが変わります。それらはエネルギーを蓄え、蓄えられたエネルギーは、時間 0 では変化できません。したがって、回路は古い状態から新しい状態へなめらかに移ります。

このなめらかな変化を過渡現象といいます。しばらくすると回路は落ち着き、もう何も変化しなくなります。

細いホースでバケツに水を入れることを考えましょう。バケツがコンデンサ、細いホースが抵抗です。水位は最初は速く上がり、バケツがいっぱいになるにつれて、だんだんゆっくりになります。

2始めと終わでのコンデンサとインダクタ

各部品について、2 つの規則だけが必要です：何が飛べないか、すべてが落ち着いた後にどう振る舞うか。

• コンデンサ：その電圧 v_C は飛べません。スイッチの後、長い時間がたつと電流が流れ込まなくなるので、開放（切れ目）として働きます。
• インダクタ：その電流 i_L は飛べません。スイッチの後、長い時間がたつと両端の電圧がなくなるので、短絡（導線）として働きます。

スイッチ直後の値が初期値 x(0) です。落ち着いた後の値が最終値 x(∞) です。

電源 V_s から充電されるコンデンサでは：v_C(0) = 0、v_C(∞) = V_s。インダクタでは：i(0) = 0、i(∞) = V_s/R。

3時定数

変化の速さは、時定数 τ（タウ）という 1 つの数で決まります。

単位：kΩ × µF はミリ秒になります。mH ÷ Ω もミリ秒になります。

すべての電圧と電流は、初期値と最終値の間で、同じ指数関数の曲線に従います：

• 1τ 後には、変化の 63% が完了します。2τ 後には 86%、3τ 後には 95% です。
• 約 5τ 後には、実用上、回路は落ち着いています。

0 V から充電されるコンデンサでは、式は次のようになります：

4ステップごとの方法

1. スイッチ直後の初期値 x(0) を求めます。v_C と i_L は飛べないという規則を使います。
2. 最終値 x(∞) を求めます。コンデンサを開放に、インダクタを導線に置き換え、直流回路を解きます。
3. 時定数を求めます：τ = R·C または τ = L/R で、コンデンサやインダクタから見える抵抗を使います。
4. 3 つの値を x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ に代入します。
5. τ と同じ単位で時間 t を入れて、計算します。

問題が時間を求める場合は、同じ式を t について解きます。自然対数 ln が必要になります。

5例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

6よくある間違い

• コンデンサがすでに電圧を保持しているのに、充電の式 V_s·(1 − e^−t/τ) を使う。x(0) を含む一般式を使います。
• 単位を混同する：kΩ × µF は秒ではなくミリ秒です。t と τ は同じ単位にします。
• V_s·e^−t/τ と答える。それはまだ足りない分（または抵抗の電圧）であって、コンデンサの電圧ではありません。
• τ に誤った抵抗を使う。コンデンサやインダクタから見える抵抗を使います。

7試験問題の例

• やさしい：例のような、0 V からの RC 充電。τ、またはある時間でのコンデンサ電圧を求めます。
• ふつう：インダクタ電流が 0 から始まる RL 回路。i(t) = (V_s/R)·(1 − e^−t/τ)、インダクタ電圧 v_L = V_s·e^−t/τ、または最終電流の何パーセントに達するまでの時間を求めます。
• むずかしい：すでに電圧を保持しているコンデンサ。ある時間での v_C、またはある電圧に達するまでの時間を求めます。

時間を求めるには、一般式を変形します：

τ = L/R では、mH ÷ Ω でミリ秒になります。したがって、50 mH のインダクタと 10 Ω では τ = 5 ms です。