定常偏差と PID 制御：ステップごとの解答つき練習問題

1指令に追従する

フィードバックループは、指令 r と出力 y を比べ、偏差 e = r − y に対して動作します。理想的には、出力は最終的に指令とちょうど一致します。

実際には、そうならないことがよくあります。過渡状態が収まったあとにも差が残ることがあり、これが定常偏差 e_ss です。

e_ss の大きさは、入力の種類（ステップ、ランプ、放物線）と、ループに含まれる積分器の数で決まります。

2システムの型と偏差定数

システムの型は、開ループ G(s) の s = 0 にある極の個数、すなわち積分器の個数です。G(s) = 10/(s(s + 5)) には 1 個あるので、1 型です。

3 つの偏差定数は、ごく低い周波数（s → 0）での G(s) をまとめたものです：

最終値の定理により、それぞれの入力に対する偏差が求まります：

• 0 型：ステップ偏差は有限、ランプ偏差は無限大。
• 1 型：ステップ偏差は 0、ランプ偏差は有限。
• 2 型：ステップ偏差とランプ偏差は 0、放物線偏差は有限。

3ステップごとの方法

1. 開ループを書きます：制御器と制御対象の積 C(s)·G(s) です。
2. s = 0 にある極を数えて、システムの型を求めます。
3. 入力に対応する偏差定数を選びます：ステップには K_p、ランプには K_v、放物線には K_a です。
4. 極限を評価します：因数 s を約分し、残った式に s = 0 を代入します。
5. 偏差の式を使うか、必要な偏差を与えるゲインについて解きます。

減衰や速度の仕様では、閉ループの特性多項式を書き、s² + 2ζω_ns + ω_n² と係数を合わせます。

4例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

5P、PI、PID 制御器

PID 制御器は、偏差に対する 3 つの動作を組み合わせます：

• 比例（K_p）：ループが速くなり、0 型の制御対象では偏差が小さくなりますが、ステップ偏差は 0 にはなりません。
• 積分（K_i/s）：s = 0 に極を加えるので、型が 1 つ上がり、ステップ入力に偏差なく追従します。
• 微分（K_d·s）：減衰を加え、オーバーシュートを減らします。

ゲインを決めるには、係数を合わせます。G(s) = 2/(s + 3) に PI 制御器をつなぐと、特性多項式は s² + (3 + 2K_p)s + 2K_i になります。ω_n = 5 rad/s、ζ = 0.8 のとき、目標は s² + 8s + 25 です：

6よくある間違い

• ステップ入力に A/(1 + K_p) ではなく A/K_p を使うこと。
• 係数を合わせるときに制御対象のゲインを忘れること：ループゲインは、制御器のゲインに制御対象のゲインを掛けたものです。
• 制御対象の積分器だけを数えて、PI 制御器の積分器を見落とすこと。
• K_v を評価するときに零点を落とすこと：因数 (s + 3) は s = 0 で 3 になります。

7試験問題の例

• やさしい：システムの型と偏差定数。伝達関数の型、K_p、K_v、K_a、ステップ偏差、あるいは P 制御のループの最終出力を求めます。
• ふつう：定常偏差とゲイン。ランプ入力、放物線入力、またはステップとランプの和に対する偏差、あるいは必要な偏差を与えるゲインを求めます。
• むずかしい：P、PI、PD 制御の設計。減衰比から K を決める、与えられた K でのオーバーシュート、ピーク時間、整定時間を求める、係数を合わせて PI や PD のゲインを決める、PI 制御器でのランプ偏差を求める、といった問題です。