ボード線図と余裕をゼロから学ぶ
事前に学ぶこと： 交流インピーダンスとフェーザ, ラプラス変換
1ボード線図が示すもの
フィルタや増幅器に正弦波を入力すると、同じ周波数の正弦波が出てきます。変わるのは 2 つだけ：大きさとタイミングです。
利得 |H| は、出力振幅と入力振幅の比です。位相 φ は、出力が度でどれだけずれているかです。位相が負なら、出力が遅れています。
どちらも周波数に依存します。ボード線図は、それらを周波数に対して描きます：上にデシベルでの利得、下に位相。周波数軸は対数なので、10 倍（デカード）ごとに同じ幅がとられます。
デシベルは、比を足し算できる数にします：
|H|dB = 20·log₁₀|H|
- 利得 1 は 0 dB、10 は 20 dB、100 は 40 dB、0.1 は −20 dB です。
- 利得 1/√2 ≈ 0.707 は −3 dB です。これはフィルタの通過帯域の端です。
セルフチェック 増幅器の利得は 100 です。デシベルでの利得はいくらですか？
- 100 dB
- 2 dB
- 20 dB
- 40 dB
答え: 40 dB. 20·log₁₀(100) = 20·2 = 40 dB です。20 dB は 10·log₁₀ を使った値で、それは電圧ではなく電力比用です。2 は log₁₀(100) にすぎません。
21 次フィルタ
抵抗とコンデンサ、またはインダクタが、最も単純なフィルタをつくります。ローパスフィルタは低い周波数を通し、高い周波数を弱めます。ハイパスフィルタはその逆です。
RC ローパスフィルタ（左）では、出力はコンデンサの両端です。RC ハイパスフィルタ（右）では、抵抗の両端です。インダクタを使う場合、ローパスフィルタの出力は R の両端、ハイパスフィルタでは L の両端です。
変化は遮断周波数のあたりで起こり、そこで利得は −3 dB です。ローパス版でもハイパス版でも同じです：
ωc = 1/(R·C) ωc = R/L fc = ωc/(2π)
ωc は rad/s、fc は Hz です。先に R、C、L を基本単位にします：Ω、F、H。
図はローパスフィルタを示しています。ωc より下では、利得はおよそ 0 dB です。それより上では、利得は 1 デカードあたり 20 dB で下がります。位相は 0° から −90° へ変わり、遮断周波数で −45° です。
任意の周波数で、比 x = f/fc = ω/ωc を使うと：
- ローパス：|H| = 1/√(1 + x²)、φ = −atan x。
- ハイパス：|H| = x/√(1 + x²)、φ = 90° − atan x。
例題R = 470 Ω、L = 47 mH の RL ハイパスフィルタの遮断周波数 fc を求めなさい。
2ωc = R/L = 470/0.047 = 10 000 rad/s
3fc = 10 000/(2π) = 1592 Hz
答え fc ≈ 1592 Hz（ωc = 10 000 rad/s）。
セルフチェック RC ローパスフィルタの R = 1 kΩ、C = 1 µF です。遮断周波数 fc はいくらですか？
- 1000 Hz
- 159 Hz
- 159 kHz
- 6283 Hz
答え: 159 Hz. ωc = 1/(1000·0.000001) = 1000 rad/s なので、fc = 1000/(2π) = 159 Hz です。1000 は Hz ではなく rad/s の ωc です。6283 は 2π をかけた値で、159 kHz は kΩ の k を忘れた値です。
3直線近似のボード線図
伝達関数 G(s) には、直線で大きさのスケッチを描けます。各因子は、それぞれの遮断周波数で傾きを変えます。
- 分母の極因子 (s + p) は、ω = p から先で、線を 20 dB/デカードだけ下向きに曲げます。
- 分子のゼロ因子 (s + z) は、ω = z から先で、線を 20 dB/デカードだけ上向きに曲げます。
- 分母の因子 s（積分器）は、すべての周波数で −20 dB/デカード、位相は −90° を与えます。
- 積分器がなければ、線図は直流利得 G(0) を dB に換算した値で平らに始まります。
図は G(s) = 10 000/((s + 10)(s + 100)) を示しています。G(0) = 10 000/1000 = 10 なので、線図は 20 dB から始まります。10 rad/s で −20 dB/デカードに、100 rad/s で −40 dB/デカードに曲がります。
ある帯域での傾きを求めるには：積分器 1 つにつき −20 dB/デカードから始め、その帯域より下にある極の遮断点ごとに −20 を、ゼロの遮断点ごとに +20 を加えます。
セルフチェック G(s) = 20(s + 50)/(s(s + 5)) です。5 から 50 rad/s の間の、直線近似の傾きはいくらですか？
- 0 dB/デカード
- −20 dB/デカード
- −40 dB/デカード
- −60 dB/デカード
答え: −40 dB/デカード. 積分器が最初から −20 を与えます。5 の極が −20 を加えるので、5 から 50 の間の傾きは −40 です。50 のゼロは、50 より上でそれを −20 に戻します。−60 はゼロを極として扱った値です。
41 つの周波数での正確な値
直線はスケッチです。正確な値には s = jω を代入します。各因子 (jω + a) は複素数で、次のようになります：
|jω + a| = √(ω² + a²) ∠(jω + a) = atan(ω/a)
G の大きさは、分子の大きさの積を分母の大きさの積で割ったものです。位相は、分子の角度の和から分母の角度の和を引いたものです。
例：G(s) = 150/((s + 3)(s + 4))、ω = 4 rad/s。|j4 + 3| = 5、|j4 + 4| = 5.657 なので、|G| = 150/28.28 = 5.30、これは 14.5 dB です。
位相は −atan(4/3) − atan(4/4) = −53.1° − 45° = −98.1° です。
出力を R の両端にとった直列 RLC 回路は、バンドパスフィルタです。共振周波数 ω₀ = 1/√(LC) の近くの周波数を通します。帯域幅は rad/s で BW = R/L、品質係数は Q = ω₀/BW です。
- G(s) または H(jω) を書き下します。RC や RL のフィルタでは、まず ωc と比 x = ω/ωc を求めます。
- 各因子について、大きさ √(ω² + a²) と角度 atan(ω/a) を求めます。
- 大きさは掛けたり割ったりします。ゼロの角度は足し、極の角度は引きます。積分器は −90° を加えます。
- 大きさを 20·log₁₀ で dB に換算します。
- 直線近似のスケッチと照らし合わせます：正確な値はそれに近いはずで、単一の遮断点ではそれより 3 dB 下になります。
5例題
これは典型的な「ふつう」の問題です。開く前に、各ステップを試してみましょう。
例題RC ローパスフィルタの R = 10 kΩ、C = 100 nF です。480 Hz の正弦波を加えます。利得 |H| を dB で、位相のずれ φ を求めなさい。
1基本単位を使います：R = 10 000 Ω、C = 0.0000001 F。
ωc = 1/(10 000·0.0000001) = 1000 rad/s
fc = 1000/(2π) = 159.2 Hz
2x = f/fc = 480/159.2 = 3.016
入力は遮断周波数より上なので、利得がはっきり下がると予想できます。
3|H| = 1/√(1 + 3.016²) = 1/3.177 = 0.315
20·log₁₀(0.315) = −10.0 dB
4ローパスフィルタは出力を遅らせるので、位相は負です。
φ = −atan(3.016) = −71.7°
5直線近似では −20·log₁₀(3.016) = −9.6 dB となり、正確な値 −10.0 dB に近いです。
答え |H| ≈ −10.0 dB、φ ≈ −71.7°。
6よくある間違い
- 電圧の利得に 10·log₁₀ を使うこと。信号の利得には 20·log₁₀ を使います。
- ω と f を取り違えること。ωc = 1/(RC) は rad/s で、Hz にするには 2π で割ります。
- RL の遮断周波数に L/R を使うこと。L/R は時定数で、遮断周波数は ωc = R/L です。
- ω + a のように大きさを足し算すること。jω + a の大きさは √(ω² + a²) です。
- 積分器を忘れること：1/s は、すべての周波数で −20 dB/デカードと −90° を与えます。
- 正確な大きさを問われているのに、直線近似の値を答えること。
セルフチェック G(s) = 400/((s + 2)(s + 5)) の直流利得は dB でいくつですか？
- 16.0 dB
- 32.0 dB
- 40 dB
- 52.0 dB
答え: 32.0 dB. G(0) = 400/(2·5) = 40 で、20·log₁₀(40) = 32.0 dB です。16.0 dB は 10·log₁₀ を使った値です。40 は dB ではなく比です。52.0 dB は分母で s = 0 とするのを忘れた値です。
7試験問題の例
- やさしい：フィルタと漸近線。RC や RL フィルタの遮断周波数（Hz または rad/s）、ある帯域での直線近似の傾き、あるいは dB での直流利得。
- ふつう：大きさと位相。ある周波数でのフィルタの利得（dB）または位相、伝達関数の正確な |G(jω)| または ∠G(jω)、あるいは RLC バンドパスフィルタの f₀、BW、Q。
- むずかしい：85/(s(s + 5)) や K/(s(s + a)(s + b)) のようなループ L(s) の安定余裕。
むずかしいレベルでは 2 つの周波数が必要です。利得交差 ωc では、|L(jω)| = 1（0 dB）です。位相交差 ω180 では、∠L(jω) = −180° です。
PM = 180° + ∠L(jωc) GM = −20·log₁₀|L(jω180)|
L(s) = K/(s(s + a)(s + b)) では、位相交差は ω180 = √(a·b) にあります。両方の余裕が正であれば、ループは安定です。
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