信号とシステム：練習問題と試験問題

離散たたみ込み：線形時不変システムの出力は y[n] = Σ_k x[k]·h[n − k] です。h を反転し、n だけずらし、x と標本ごとに掛けて足し合わせます。x が n_x から始まる L_x 個の標本、h が n_h から始まる L_h 個の標本をもつとき、y は n_x + n_h から始まる L_x + L_h − 1 個の標本をもちます。y のすべての標本の和は (Σx)·(Σh) に等しくなります。FIR フィルタ y[n] = b₀x[n] + b₁x[n − 1] + … は、h[n] = b_n とするたたみ込みです。

ラプラス変換：F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt は、微分を s の掛け算に変えます：ℒ{f′} = sF(s) − f(0)、ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)。基本的な変換対：1 ↔ 1/s、e^−at ↔ 1/(s + a)、t·e^−at ↔ 1/(s + a)²、sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)、cos ωt ↔ s/(s² + ω²)。また、s → s + σ のシフトは、時間関数に e^−σt を掛けることに対応します。有理式 F(s) を逆変換するには部分分数に分解します。単極 p の留数は A = [(s − p)·F(s)] の s = p での値です。最終値の定理：f(∞) = lim_s→0 s·F(s)。これは s·F(s) のすべての極が左半平面にあるときに限り成り立ちます。初期値の定理：f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s)。