ラプラス変換の計算ツール
値を入力してください。入力に合わせて答えと詳しい解答が更新されます。
結果
一般的な項からなる関数のラプラス変換を求めます：t のべき乗、指数関数、（位相つきの）正弦と余弦、sinh と cosh、遅れたステップ関数 u(t − c)、インパルス δ(t − c)。計算ツールは、標準の表と移動の定理で各項を変換し、使用した項目を示し、収束領域つきの F(s) を求めます。
ステップごとの解答
各項を変換する
使用した表の項目
変換を足し合わせる（線形性）
表を使ったラプラス変換の求め方
- f(t) を項の和に分けます。ラプラス変換は線形です。
- 基本の変換対を使います：L{tⁿ} = n!/sⁿ⁺¹、L{sin ωt} = ω/(s² + ω²)、L{cos ωt} = s/(s² + ω²)。
- e^(at) を掛けると s が移動します：L{e^(at) f(t)} = F(s − a)。
- 遅れた項 g(t)·u(t − c) は e^(−cs)·L{g(t + c)} に変換されます。
- 各項の変換を足し合わせます。F(s) は、Re(s) が最大の指数 a より大きいときに存在します。
質問と回答
f(t) はどう入力しますか？
例：3t^2 e^(-2t) + 5sin(4t) - 2e^(-t)cos(3t) + 4u(t-1)。べき乗には ^、指数関数には e^(at) または exp(at)、ステップには u(t-c)、インパルスには δ(t-c) または delta(t-c) を使います。sin(2t + 1) のように位相も使えます。
t·u(t − 1) と (t − 1)·u(t − 1) の違いは何ですか？
後者は遅れたランプ関数で、e^(−s)/s² に変換されます。前者は t·u(t − 1) = ((t − 1) + 1)·u(t − 1) で、e^(−s)(1/s² + 1/s) に変換されます。計算ツールは g(t + c) と書き直すことで両方を扱います。
t·sin(ωt) と t·cos(ωt) はどう変換しますか？
L{tⁿ e^(jωt)} = n!/(s − jω)ⁿ⁺¹ を通して行います：虚部が正弦、実部が余弦を与えます。たとえば L{t sin ωt} = 2ωs/(s² + ω²)² です。
収束領域とは何ですか？
変換の積分が収束する s の値で、Re(s) が f(t) の最大の増加率より大きい範囲です。e^(3t) では Re(s) > 3 です。
2 つの正弦の積を入力できますか？
直接はできません。先に積和の公式で書き換えてください。例：sin(at)·cos(bt) = ½[sin((a + b)t) + sin((a − b)t)]。
自分で練習する
ラプラス変換を練習
計算ツールは答えを出してくれます。でも試験で必要なのは解き方です。新しい問題、ヒント、解答で練習しましょう。