ラプラス逆変換の計算ツール（部分分数分解）
値を入力してください。入力に合わせて答えと詳しい解答が更新されます。
結果
有理関数 F(s) = N(s)/D(s) のラプラス逆変換を求めます。分子と分母の係数を、s の最高次の項から順に入力します。計算ツールは共通因数を約分し、仮分数は割り算して整理し、極を求め、（単根、重根、複素根の）すべての部分分数の係数を計算し、f(t) を指数関数、t のべき乗、正弦、余弦の和として書き出します。
ステップごとの解答
F(s) を多項式の比で表す
極：分母の根
部分分数展開
使用するラプラス変換対
ラプラス逆変換
部分分数分解によるラプラス逆変換の求め方
- F(s) が真分数であることを確認します：分子の次数が分母の次数より低くない場合は、先に割り算します。多項式の部分はインパルス δ(t)、δ′(t) などになります。
- 分母を因数分解して極を求めます：実数の極 a は因数 (s − a) を、共役な複素数の対 a ± bj は (s − a)² + b² を与えます。
- F(s) を部分分数の和で表し、係数を求めます。単根では A = [(s − a)·F(s)] の s = a での値（隠蔽法）です。重根では微分が必要です。
- 表を使って各項を変換します：1/(s − a) ↔ e^(at)、1/(s − a)ⁿ ↔ tⁿ⁻¹·e^(at)/(n − 1)!、(s − a)/((s − a)² + b²) ↔ e^(at)·cos bt。
- 各項を足して、t ≥ 0 の f(t) を求めます。
質問と回答
F(s) はどのように入力しますか？
各多項式の係数を、s の最高次から順にスペース区切りで入力し、ない次数には 0 を入れます。(s + 3)/(s² + 3s + 2) は分子 1 3、分母 1 3 2、1/(s³ + 4s) は分子 1、分母 1 0 4 0 です。1/2 のような分数と小数も使えます。
隠蔽法（カバーアップ法）とは何ですか？
s = a の単根について、F(s) に (s − a) を掛けて約分し、s = a を代入します。F(s) = (s + 3)/((s + 1)(s + 2)) では、s = −1 で 2/1 = 2、s = −2 で 1/(−1) = −1 となり、f(t) = 2e^(−t) − e^(−2t) です。
複素数の極はどう扱いますか？
極の対 a ± bj は、逆変換が e^(at)·(B cos bt + C sin bt) となる項 (B(s − a) + C·b)/((s − a)² + b²) を与えます。計算ツールは a + bj での複素係数 A から B と C を求めます：B = 2·Re A、C = −2·Im A。
分子の次数が高すぎる場合はどうなりますか？
その場合 F(s) は仮分数です。多項式の割り算で F(s) = Q(s) + R(s)/D(s) となります。多項式 Q(s) はインパルスに変換されます：定数 c は c·δ(t)、c·s は c·δ′(t)、のようになります。真分数の部分 R(s)/D(s) は、通常どおり部分分数に展開します。
結果はどれくらい正確ですか？
共通因数と重複する因数は、分数を使って正確に求められます。根と係数はその後、約 14 桁で数値計算され、有効数字 4 桁で表示されるため、s² + s + 1 の極のような無理数の極は小数で表れます。
f(t) が t ≥ 0 でのみ有効なのはなぜですか？
片側ラプラス変換は t ≥ 0 での f の値だけを使うからです。厳密には、結果は f(t)·u(t)（u は単位ステップ関数）なので、t < 0 では f(t) = 0 です。
自分で練習する
ラプラス変換を練習
計算ツールは答えを出してくれます。でも試験で必要なのは解き方です。新しい問題、ヒント、解答で練習しましょう。