ブロック線図：ステップごとの解答つき練習問題

1ブロック線図とは何か

制御系は、コントローラ、モーター、センサといった部品の連なりです。ブロック線図は、各部品を箱、各信号を矢印として描きます。

ブロックは、入力信号に利得、つまり伝達関数 G をかけます。G = 5 のブロックに 3 が入れば、15 が出てきます。

加え合わせ点（円）は、信号を足したり引いたりします。入ってくる各矢印の横の符号が、どちらかを示します。点は引き出し点で、信号は分けられるのではなく、複写されます。

これは制御でいちばん重要な図です。出力 C は H を通して測られ、基準 R から引かれます。その差 E = R − H·C が、G を駆動する偏差です。

これが負帰還です：出力が高すぎると偏差が縮み、出力を引き下げます。

2どんな線図も簡単にする 3 つの規則

線図は、ブロックが 1 つになるまで一段ずつ簡単にします。その利得 T = C/R が閉ループ伝達関数です。

• 直列：続けて並ぶブロックは掛け合わされます。G₁·G₂。
• 並列：同じ加え合わせ点に入るブロックは、その点の符号とともに足されます：G₁ + G₂ または G₁ − G₂。
• 帰還ループ：負帰還 H をもつ前向きブロック G は、G/(1 + G·H) になります。

帰還の規則は 2 つの式から導かれます。加え合わせ点で E = R − H·C、ブロックから C = G·E です。したがって C = G·R − G·H·C、すなわち：

正帰還では、信号が加え合わせ点で足され、分母の符号が反転します：T = G/(1 − G·H)。

積 G·H がループ利得です。これが大きいと、T は 1/H に近づきます：利得を決めるのはプラントではなく、センサです。

3伝達関数をもつループ

実際のブロックは s に依存し、たとえばモーターは G(s) = b/(s + a) です。同じ規則が使えます。そのあと、分数の中の分数を整理します。

単位帰還（H = 1）では、G/(1 + G) の分子と分母に (s + a) をかけます：

• 閉ループ極は分母の根です：p = −(a + b)。それは開ループ極 −a より左にあるので、ループは速くなります。
• 時定数は τ = 1/(a + b) です。
• 直流利得は T(0) = b/(a + b) です。大きさ A のステップは、c_ss = A·T(0) に落ち着きます。
• センサ利得 H があると、分母は s + a + b·H になります。

定常偏差 e_ss は、整定後に R − C として残るものです。単位帰還では、偏差定数を使います：

• 大きさ A のステップでは：e_ss = A/(1 + K_p)、位置定数は K_p = G(0)。
• ランプ r(t) = A·t では：e_ss = A/K_v、速度定数は K_v = lim_s→0 s·G(s)。

G(s) = 8/(s(s + 4)) では因子 s が打ち消され：K_v = 8/4 = 2 です。ランプ r(t) = 1·t では、e_ss = 1/2 = 0.5 が残ります。

G(s) = K/(s(s + 6)) のような 2 次のループでは、閉ループは s² + 6s + K = 0 になります。2 つの等しい実数の極（臨界減衰）には 6² = 4K が必要で、K = 9 です。

4ステップごとの方法

1. 最も内側のループを見つけます。G/(1 + G·H)、正帰還なら G/(1 − G·H) で先にそれを簡単にします。
2. 直列のブロックはまとめ（掛け算）、並列のブロックはまとめます（加え合わせ点の符号とともに足し算）。
3. ブロックが 1 つになるまで繰り返します。そのブロックが T(s) = C/R です。
4. 分数を整理します：G(s) の分母を分子と分母にかけます。
5. 問われていることを読み取ります：極は分母から、定常状態には T(0)、1 次のループでは τ = 1/（極の大きさ）。

簡単な確認：s = 0 では、線図を普通の数だけで簡単にできます。それで T(0) が直接求まり、ほとんどの計算ミスに気づけます。

5例題

これはマイナーループをもつ、典型的な「ふつう」の問題です。開く前に、各ステップを試してみましょう。

6よくある間違い

• 負帰還に 1 − G·H を使うこと。負帰還は 1 + G·H、正帰還は 1 − G·H を与えます。
• H を分子に置くこと。T = G/(1 + G·H)：H はループ利得にしか現れません。
• 内側のループより先に外側のループを閉じること。必ず内側から外側へ進みます。
• 極でセンサ利得 H を忘れること：分母は s + a + b·H であり、s + a + b ではありません。
• 開ループ極 −a や開ループ利得 G(0) を答えること。帰還は両方を変えます。
• ステップの偏差に A/K_p を使うこと。正しい式は A/(1 + K_p) です。

7試験問題の例

• やさしい：直列、並列、帰還。ループの利得、符号つきの並列ブロック、または正帰還を簡単にします。あるいは b/(s + a) のまわりに単位ループを閉じ、極、τ、T(0)、または c_ss を答えます。
• ふつう：閉ループ伝達関数と偏差。例のようなマイナーループ、センサ利得 H、臨界減衰となる利得 K、あるいはステップまたはランプに対する定常偏差。
• むずかしい：外乱、安定性、極。プラント入力に加わる外乱 D、あるいはラウス・フルビッツの判別法による安定のための最大利得 K_max。

外乱には重ね合わせを使います：D = 0 として R から C を求め、R = 0 として D から C を求め、その 2 つを足します。