三相電力：ステップごとの解答つき練習問題

図、ヒント、詳しい解答つきの無料の三相電力練習問題。毎回新しい数値で、3 つのレベル：平衡 Y 結線と Δ 結線の電圧と電流, 三相電力, 力率改善。

無料の練習問題やさしい
ABCVL​ = 415 VIL​ = ?NZ = 24 + j7 Ω1 相あたり

平衡 Y 結線負荷の 1 相あたりのインピーダンスは 24 + j7 Ω である。この負荷に線間電圧 415 V の平衡三相電源から給電する。線電流の大きさ IL を求めよ。

VL = 415 VZ = 24 + j7 Ω 1 相あたり
A
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練習する内容

  1. やさしい平衡 Y 結線と Δ 結線の電圧と電流
  2. ふつう三相電力
  3. むずかしい力率改善

重要な公式

Y 結線
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 結線
VL = Vph, IL = √3·Iph
全有効電力
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
皮相電力と無効電力
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧
Δ：VL Y：VL/√3
モーターの入力
Pin = Pout/η

三相電力をゼロから学ぶ

事前に学ぶこと： 交流電力と力率

1三相電力とは何か

ほとんどすべての電気は、三相交流として発電され、配電されます。線または相（A、B、C）と呼ばれる 3 本の導線が、それぞれ正弦波を運びます。

3 つの波は大きさも周波数も同じですが、それぞれが次の波から 1 周期の 3 分の 1、つまり 120° ずれています。

tABC120°

3 人が順番に自転車のペダルをこぐところを思い浮かべてください：1 人が押している間に、ほかの人は戻ります。全体の押す力は滑らかなままです。同じように、平衡した三相系は一定の総電力を供給するので、モーターが滑らかに回ります。

また、同じ電力に対して、3 つの別々の単相回路より銅が少なくて済みます。

このトピックでは、すべての負荷が平衡しています：3 つの相のインピーダンスがすべて同じです。すると、1 つの相を計算して 3 倍できます。

セルフチェック 各相電圧は、次の相電圧からどれだけずれていますか？
  1. 120°
  2. 180°
  3. 60°
  4. 90°

答え: 120°. 3 つの相が 360° の 1 周期を分け合うので、360/3 = 120° ずつ離れています。

2Y 結線と Δ 結線

三相負荷には 3 つのインピーダンスがあります。それらは 2 つの方法で接続できます。

NABCYABCΔ
  • Y（スター）：各インピーダンスが、線から共通のスター点 N に向かう。
  • Δ（デルタ）：各インピーダンスが 2 本の線の間にあり、三角形をつくる。

2 本の線の間の電圧が線間電圧 VL で、通常与えられる値です（400 V、415 V、208 V など）。1 つのインピーダンスにかかる電圧が相電圧 Vph です。同じ考え方が、線電流 IL と相電流 Iph にも当てはまります。

Y: VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ: VL = Vph, IL = √3·Iph

どちらの場合も、1 つの相はオームの法則に従います：Iph = Vph / |Z|、|Z| = √(R² + X²)。

セルフチェック Y 結線の負荷が、400 V（線間）の電源から供給されます。各インピーダンスにかかる電圧はいくらですか？
  1. 133 V
  2. 231 V
  3. 400 V
  4. 693 V

答え: 231 V. Y では Vph = VL/√3 = 400/√3 = 231 V です。400 V は Δ の場合、693 V は √3 をかけた値、133 V は √3 で 2 回割った値です。

3三相電力

総電力は、1 つの相の電力の 3 倍です。線の値で書くと、同じ合計は次のようになります。

P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ
S = √3·VL·IL Q = P·tan φ

この式は Y でも Δ でも同じです。力率 cos φ は、1 つの相のインピーダンスの力率です：cos φ = R/|Z|。

相電流と抵抗がわかっているなら、P = 3·Iph²·R も使えます。有効電力を消費するのは抵抗だけです。

セルフチェック 平衡した負荷が、400 V の電源から、力率 0.9 で線ごとに 10 A を引き出します。総有効電力はいくらですか？
  1. 10800 W
  2. 3600 W
  3. 6235 W
  4. 6928 W

答え: 6235 W. P = √3·400·10·0.9 = 6235 W です。√3 を除くと 3600 W、線の値で √3 の代わりに 3 を使うと 10800 W、6928 W は力率を忘れた値です。

4ステップごとの方法

  1. 結線（Y か Δ）と線間電圧 VL に注意します。
  2. 相電圧を求めます：Y では Vph = VL/√3、Δ では Vph = VL。
  3. |Z| = √(R² + X²) と、相電流 Iph = Vph/|Z| を求めます。
  4. 線電流を求めます：Y では IL = Iph、Δ では IL = √3·Iph。
  5. 電力を求めます：P = 3·Iph²·R、または cos φ = R/|Z| として P = √3·VL·IL·cos φ。

できる限り 1 つの相で計算します。線の値に切り替えるのは最後だけです。

5例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

例題

平衡した Y 結線の負荷は、1 相あたりのインピーダンスが 6 + j8 Ω で、400 V（線間）の電源から供給されます。線電流 IL と総有効電力 P を求めなさい。

1

相電圧

Y 結線では、各インピーダンスに相電圧がかかります。

Vph = 400 / √3 = 230.9 V
2

インピーダンスの大きさ

|Z| = √(6² + 8²) = 10 Ω

力率は cos φ = R/|Z| = 6/10 = 0.6 です。

3

相電流と線電流

Iph = 230.9 / 10 = 23.1 A

Y では線電流が相電流なので、IL = 23.1 A です。

4

全有効電力

P = 3·Iph²·R = 3·23.1²·6 = 9600 W
5

答えを確認する

線の値では：P = √3·400·23.1·0.6 = 9600 W。2 つの式は一致します。

答え

IL = 23.1 A、P = 9.6 kW。

6よくある間違い

  • Y のインピーダンスに線間電圧をかけること。Y では各インピーダンスに VL/√3 がかかります。
  • Δ では線電流が相電流の √3 倍であることを忘れること。
  • 電流を求めるときに、|Z| の代わりに R で割ること。
  • 電力の式で、線の値に 3 を、または相の値に √3 を使うこと。
セルフチェック 同じ 6 + j8 Ω のインピーダンスを、今度は 400 V の電源に Δ 結線で接続します。線電流はいくらですか？
  1. 115 A
  2. 23.1 A
  3. 40 A
  4. 69.3 A

答え: 69.3 A. Δ では Vph = 400 V なので、Iph = 400/10 = 40 A、IL = √3·40 = 69.3 A です。40 A は相電流にすぎず、115 A は |Z| の代わりに R で割った値です。

7試験問題の例

  • やさしい：3 + j4 Ω のようなインピーダンスをもつ Y または Δ の負荷。線電流または相電流を求めます。
  • ふつう：インピーダンスから、または VL、IL、力率からの総有効電力。モーターの問題では出力と効率が与えられます：まず Pin = Pout/η を求め、次に IL = Pin/(√3·VL·cos φ) を求めます。
  • むずかしい：三相のコンデンサバンクによる力率改善。無効電力 QC、または 1 相あたりの静電容量を求めます。

改善には、単相と同様に QC = P·(tan φ1 − tan φ2) です。3 つのコンデンサは、それぞれその 3 分の 1 を供給します。

C = QC / (3·ω·V²)

ここで V は各コンデンサにかかる電圧です：Δ では VL、Y では VL/√3。したがって、Y のバンクは、Δ のバンクの 3 倍の静電容量が必要です。

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解答例

例題 1やさしい
ABCVL​ = 400 VIL​ = ?Z = 24 + j7 Ω1 相あたり

平衡 Δ 結線負荷の 1 相あたりのインピーダンスは 24 + j7 Ω である。この負荷に線間電圧 400 V の平衡三相電源から給電する。線電流の大きさ IL を求めよ。

VL = 400 VZ = 24 + j7 Ω 1 相あたり

求めるもの： IL (A)

ヒントを表示
  1. Δ 結線では、各インピーダンスは 2 本の線の間に接続されています。
  2. したがって各インピーダンスには線間電圧がそのままかかり、IL = √3·Iph です。
  3. Iph = 400/25 = 16 A.
答えとステップごとの解答を表示

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

インピーダンスの大きさ

|Z| = √(24² + 7²) = 25 Ω

相電流

各インピーダンスは 2 本の線の間に接続され、VL がかかります。

Iph = VL/|Z| = 400/25 = 16 A

線電流

IL = √3·Iph = √3·16 = 27.71 A

答え

IL = 27.71 A
例題 2ふつう
ABCVL​ = 400 VZ = 24 + j18 Ω1 相あたり

1 相あたりのインピーダンスが 24 + j18 Ω の平衡 Δ 結線負荷が、線間電圧 400 V の平衡三相電源に接続されている。 負荷が吸収する全有効電力 P を kW で求めよ。

VL = 400 VZ = 24 + j18 Ω 1 相あたり

求めるもの： P (kW)

ヒントを表示
  1. Δ 結線では、各インピーダンスには線間電圧がそのままかかります。
  2. 相電流を求め、P = 3·Iph²·R とします。
  3. Iph = 13.33 A.
答えとステップごとの解答を表示

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

相電圧

Vph = VL = 400 V

相電流

|Z| = √(24² + 18²) = 30 Ω
Iph = 400/30 = 13.33 A

全有効電力

有効電力を吸収するのは、各インピーダンスの抵抗分だけです。

P = 3·Iph²·R = 3·13.33²·24 = 12.8 kW

答え

P = 12.8 kW

確認：cos φ = R/|Z| = 0.8 で、√3·VL·IL·cos φ からも同じ電力が得られます。

例題 3むずかしい
P = 60 kWφ1​S1​Q2​QC​

平衡三相負荷が、480 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.7 で 60 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.9 に改善する。有効電力は変わらない。 コンデンサは Y 結線である。各コンデンサの静電容量 Cph を µF で求めよ。

P = 60 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.9VL = 480 Vf = 60 Hz

求めるもの： Cph (µF)

ヒントを表示
  1. まず QC = P·(tan φ1 − tan φ2) を求めます。
  2. 各コンデンサは QC/3 を供給します。
  3. Y では各コンデンサに VL/√3 がかかります：QC/3 = (VL/√3)²·ω·C。
答えとステップごとの解答を表示

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。3 個のコンデンサはそれぞれ QC/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは VL、Y バンクでは VL/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q1 = 60·tan(acos 0.7) = 60·1.02 = 61.21 kvar
Q2 = 60·tan(acos 0.9) = 60·0.4843 = 29.06 kvar

コンデンサが供給する無効電力

QC = Q1 − Q2 = 32.15 kvar

1 相あたりの静電容量

Y バンクでは、各コンデンサは線と中性点の間に接続されています。

V = 480/√3 = 277.1 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 10718/(377·277.1²) = 370.2 µF

答え

Cph = 370.2 µF

質問と回答

三相電力とは？

ほとんどすべての電気は、三相交流として発電され、配電されます。線または相（A、B、C）と呼ばれる 3 本の導線が、それぞれ正弦波を運びます。

3 つの波は大きさも周波数も同じですが、それぞれが次の波から 1 周期の 3 分の 1、つまり 120° ずれています。

三相電力の問題の解き方は？（手順）

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

三相電力でよくある間違いは？
  • それは 1 つのインピーダンスを流れる相電流です。Δ 結線では線電流はその √3 倍になります。
  • それは Y 結線の場合の結果です。Δ 結線では、各インピーダンスに線間電圧がそのままかかります。
  • R だけでなく、インピーダンスの大きさ |Z| = √(R² + X²) で割りましょう。
三相電力の練習では何を学ぶ？
  • やさしい: 平衡 Y 結線と Δ 結線の電圧と電流
  • ふつう: 三相電力
  • むずかしい: 力率改善

問題ごとに数値が変わるので、答えではなく解き方が身につきます。 行き詰まったら、まず小さなヒントを開き、必要なときだけ詳しい解説を見ましょう。

練習のしかた

  • 問題ごとに数値が変わるので、答えではなく解き方が身につきます。
  • 行き詰まったら、まず小さなヒントを開き、必要なときだけ詳しい解説を見ましょう。
  • 進捗、間違えた問題、保存した問題は記録されるので、試験前に復習できます。

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