微分方程式：ステップごとの解答つき練習問題

1微分方程式とは

微分方程式は、ある量とその変化率を結び付けます。それが何であるかではなく、どのように変化するかを記述します。

細菌は分裂するので、大きな集団ほど速く増えます。増加率は細胞数 N に比例します：

ここで dN/dt は N の時間 t についての導関数、k は速度定数です。k = 0.4 h⁻¹、N = 1000 個のとき、集団はその瞬間に 1 時間あたり 400 個増えます。

方程式を解くとは、関数 N(t) そのものを求めることです。N(0) = 200 のような初期値も必要です。これを初期条件といいます。

2指数関数的な増加と減衰

方程式 dy/dt = k·y の解は、常に同じ指数関数です：

ここで y₀ は t = 0 での値です。k が正なら増加を意味します。減衰の方程式は dy/dt = −k·y で、解は y = y₀e^−kt です。

放射性崩壊は、半減期 t_½、つまり物質が半分になるまでの時間で表されることがよくあります。速度定数はそこから求まります：

時間を求めるには、両辺の自然対数をとります：

たとえば、k = 0.4 h⁻¹ で増える 200 個の細胞は、t = ln(5)/0.4 ≈ 4.02 h 後に 1000 個になります。

3冷却と線形方程式

ニュートンの冷却の法則：熱い物体は、室温よりずっと熱いときのほうが速く冷えます。室温を T_a とすると：

差 T − T_a は指数関数的に減衰するので、温度は室温に向かい、室温を下回ることはありません。

1 回の測定から k を求めるには、既知の値を代入して ln をとります：k = −ln[(T₁ − T_a)/(T₀ − T_a)] / t₁。

1 階線形方程式は y′ + p(x)·y = q(x) の形をしています。これに積分因子 μ を掛けます：

次に両辺を積分し、μ で割ります。p = 2/x のとき、μ = e^{2 ln x} = x² です。

4ステップごとの方法

1. 型を見分けます：dy/dt = ky（増加または減衰）、ニュートンの冷却、または y′ + p(x)y = q(x)。
2. その型の標準的な解を書きます。
3. 与えられたデータで定数を求めます：y₀ は初期値から、k は半減期または 2 回目の測定から。
4. 問われたことに答えます：時間を代入して値を求める、または ln を使って時間を求めます。
5. k の単位（h⁻¹、min⁻¹）を t の単位と照らして確認します。

線形方程式では：μ を求め、(μy)′ = μq を積分し、定数 C を加え、初期条件で C を求めます。

5例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

6よくある間違い

• ニュートンの冷却の法則で、室温 T_a を引き、また足し戻すのを忘れる。
• 減衰に正の指数を使い、量が減らずに増えてしまう。
• 自然対数 ln の代わりに log₁₀ を使う。
• 時間の単位を混同する。たとえば、min⁻¹ の k に、時間で表した t を使う。
• 積分因子を使うとき、左辺にだけ μ を掛ける。

7試験問題の例

• やさしい：指数関数的な増加と減衰。ある時間後の量、または、ある量に達するまでの時間を、半減期から求めることが多くあります。
• ふつう：ニュートンの冷却の法則。1 回の測定で k を求め、その後で温度または時間を求めます。
• むずかしい：y(1) = 1 の y′ + 2y/x = 3 のような 1 階線形方程式。積分因子を使い、別の x での y を求めます。

簡単な確認：減衰と冷却の答えは、初期値と最終値（0、または室温）の間にあるはずです。