微積分学 2：練習問題と試験問題

2 つ目の微積分の授業：積分の技法、収束判定法を伴う数列と級数、べき級数とテイラー多項式、そして偏導関数・勾配・臨界点・二重積分を含む多変数の微積分。カリキュラムによっては、この内容の一部は微積分学 3 で扱われます。

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この科目のトピック

微積分学 2の試験のコツ

どの収束判定法でも、その前に項が 0 に近づくかを確かめましょう。近づかなければ、級数は発散します。
数を代入する前に、階乗を含めたテイラー多項式を書きましょう。
二重積分では、まず領域を描きましょう：図から内側の積分の限界が分かります。

解答例

積分やさしい

y = 0.5x の下の x = 0 から x = 3 までの領域を x 軸のまわりに回転させます。立体（円錐）の体積 V を求めなさい。

y = 0.5x0 ≤ x ≤ 3

求めるもの： V

ヒントを表示

x でのスライスは、半径 y = 0.5x の円板です。
V = π∫₀³ (0.5x)² dx.
= π·0.25·x³/3.

答えとステップごとの解答を表示

回転体の体積：x = a から x = b までの y = f(x) の下の領域を x 軸のまわりに回転させると、x での断面が半径 f(x) の円板である立体ができます。円板を足し合わせると V = π∫ₐᵇ f(x)² dx になります。領域が外側の曲線 R(x) と内側の曲線 r(x) の間にあるときは、各スライスはワッシャー（円環）で、V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx です。引く前に半径を 2 乗しましょう。

円板法

V = π∫₀³ 0.25x² dx

積分する

V = π·0.25·3³/3 = 7.069

答え

V = 7.069

確認：半径 1.5、高さ 3 の円錐は (1/3)πr²h = 7.069 です。

数列と級数ふつう

和 S = Σ_k=1^∞ 12/(k(k + 3)) を求めてください。

a_k = 12/(k(k + 3))

求めるもの： S

ヒントを表示

部分分数：1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3))。
最初の数項を書き出しましょう：ほとんどが打ち消し合います（望遠鏡和）。
残るのは (12/3)·(1 + … + 1/3) です。

答えとステップごとの解答を表示

部分分数展開

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

キャンセル

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7.333

答え

S = 7.333

練習のしかた

「この科目を練習する」では、本番の試験のように、すべてのトピックの問題が混ざって出題されます。
問題ごとに数値が変わるので、答えではなく解き方が身につきます。
行き詰まったら、まず小さなヒントを開き、必要なときだけ詳しい解説を見ましょう。
模擬試験には制限時間があり、ヒントはありません。最後にスコアと詳しい振り返りが表示されます。

この科目の計算ツール

半減期と指数関数的減衰の計算ツール積分の計算ツール（定積分と不定積分）