多変数の微分積分：ステップごとの解答つき練習問題

1偏導関数

2 変数の関数 z = f(x, y) は、xy 平面の上にある曲面です。地図では、f が同じ値をとる線である等高線で描かれます。

偏導関数は、ある 1 つの方向の傾きを表します。∂f/∂x（f_x とも書く）では、y を一定に保ち、通常の規則で x について微分します。

例：f(x, y) = x²y + 3y²。f_x では y を数として、f_y では x を数として扱います：

(1, 2) では、f_x = 4、f_y = 1 + 12 = 13 になります。

もう一度微分すると、2 階偏導関数 f_xx、f_yy、f_xy が得られます。混合偏導関数の順序は関係ありません：f_xy = f_yx。ここでは f_xy = 2x です。

2勾配と方向微分

勾配は、2 つの偏導関数をまとめたものです：∇f = (f_x, f_y)。f が最も速く増加する方向を向き、等高線に垂直です。

最も急な傾きそのものは、長さ |∇f| = √(f_x² + f_y²) です。

ほかの方向 v の傾きが方向微分です。まず v を単位ベクトル u = v/|v| にし、次に内積を取ります：

(1, 2) での f = x²y + 3y² では：∇f = (4, 13)。方向 v = (3, 4) では u = (0.6, 0.8) なので、D_uf = 4·0.6 + 13·0.8 = 12.8 です。

3接平面と連鎖律

点 (a, b) の近くでは、曲面はほぼ平らです。接平面は次のとおりです

これは線形近似 f(a + Δx, b + Δy) ≈ f(a, b) + f_xΔx + f_yΔy を与えます。

例：f = x²y + 3y² では f(1, 2) = 14 なので、(1, 2) の近くで：f(1.1, 1.9) ≈ 14 + 4·0.1 + 13·(−0.1) = 13.1。厳密な値は 13.129 です。

x と y が両方とも t に依存するとき、連鎖律は 2 つの経路を足します：dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt。

4臨界点

極大・極小・鞍点では、曲面は平らです：f_x = 0 かつ f_y = 0。このような点が臨界点です。

2 階微分判定法は、その点での D = f_xxf_yy − f_xy² を使います：

• D > 0 かつ f_xx > 0：極小。
• D > 0 かつ f_xx < 0：極大。
• D < 0：鞍点。ある方向では上がり、別の方向では下がります。
• D = 0：この判定では何も決まりません。

5二重積分

二重積分 ∬_R f dA は、領域 R 上で f を足し合わせます。f = 1 なら R の面積です。2 つの 1 変数の積分として、内側から先に計算します。

長方形上では積分の範囲は数です：∫₀²∫₀¹ (x + 2y) dy dx。内側の積分は x + 1 を与え、∫₀² (x + 1) dx = 4 です。

一般の領域では、内側の積分の限界は領域を囲む曲線です。y = x² と y = 2x の間の領域では、y は x² から 2x まで、x は 0 から 2 まで動きます。

円板や扇形には極座標を使います：x² + y² = r²、dA = r dr dθ。円板 r ≤ 2 上では：∬(x² + y²) dA = ∫₀^2π∫₀² r³ dr dθ = 2π·4 = 8π です。

6よくある間違いと試験問題

• 偏導関数で、「定数」の変数まで微分してしまう。
• 方向微分で、単位ベクトル u ではなく v を使ってしまう。
• D = f_xxf_yy + f_xy² と書く、または D < 0 の点を極値と分類してしまう。
• 領域が曲線で囲まれているのに、内側の限界に数を使ってしまう。
• 極座標で係数 r を忘れる。

やさしい：ある点での偏導関数と、長方形上の積分。ふつう：勾配、方向微分、接平面、連鎖律。むずかしい：臨界点の分類と、曲線で囲まれた領域上の、極座標や積分順序の入れ替えを使った積分。