極限：ステップごとの解答つき練習問題

1極限とは

極限は、x がある数に近づくときに、関数が近づいていく値を表します。ちょうどその数のところで何が起こるかは関係ありません。

f(x) = (x² − 1)/(x − 1) を考えます。x = 1 では 0/0 になり、値がありません。しかし、1 に近い数を試すことはできます。

• x = 0.9 のとき f = 1.9。
• x = 0.99 のとき f = 1.99。
• x = 1.01 のとき f = 2.01。

値はどんどん 2 に近づきます。これを次のように書きます：

グラフは、1 点が欠けた直線で、(1, 2) に穴があります。極限は、その穴の高さです。

2代入、0/0、因数分解

まず必ず直接代入を試します：その数を代入します。普通の数が得られれば、それが極限です。

0/0 になったら、まだ終わりではありません。0/0 は不定形と呼ばれ、答えではなく、簡単にせよという合図です。

たいていは、分子と分母がその点で 0 になる共通の因数をもっています。両方を因数分解し、共通の因数を約分して、もう一度代入します。

したがって、x → 3 の極限は 3 + 3 = 6 です。役に立つ因数分解のパターン：

• x² − a² = (x − a)(x + a)
• x³ − a³ = (x − a)(x² + ax + a²)
• x³ + a³ = (x + a)(x² − ax + a²)
• x² − x − 30 のような 2 次式は (x − 6)(x + 5) と因数分解されます：掛けて −30、足して −1 になる 2 つの数を探します。

根号がある場合は、分子と分母に共役を掛けます：(√x − 2)(√x + 2) = x − 4。

3無限大での極限とロピタルの定理

x → ∞ は、x が限りなく大きくなることを意味します。多項式の分数では、x が非常に大きいとき、最高次の項だけが重要です。

すべての項を、分母の x の最高次のべきで割ります。4/x や 7/x² のような項は 0 になります。

• 分子と分母の最高次が同じ：極限は、最高次の係数の比です。
• 分母のほうが高次：極限は 0 です。
• 分子のほうが高次：分数は限りなく大きくなるので、有限の極限はありません。

√(x² + 6x) − x では、共役を掛けます。すると 6x/(√(x² + 6x) + x) になり、これは 6/(1 + 1) = 3 に近づきます。

ロピタルの定理：代入して 0/0 または ∞/∞ になる場合、分子と分母をそれぞれ別々に、その導関数で置き換えてよい。

もう一度 0/0 になったら、定理をもう一度適用します。三角関数の極限では、x は常にラジアンです。

4ステップごとの方法

1. その数を代入します。普通の数が答えです。
2. 0/0 になったら、分子と分母を因数分解します。根号があれば共役を掛けます。
3. 共通の因数を約分し、もう一度代入します。
4. x → ∞ なら、すべての項を x の最高次のべきで割り、a/x のような項を 0 にします。
5. 因数分解がうまくいかない場合（eˣ、sin、cos、ln）は、0/0 または ∞/∞ の形にロピタルの定理を使います。
6. その点にとても近い数、たとえば x = 1.001 で確認します。

5例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

6よくある間違い

• 0/0 を答えとして書く、または極限は存在しないと言う。0/0 は、まず簡単にせよという意味です。
• 代入しても 0/0 や ∞/∞ にならないときに、ロピタルの定理を使う。
• ロピタルの定理で商の微分公式を使う。分子と分母を別々に微分します。
• 無限大で、最高次ではなく、最初に書かれた項を比べる。
• sin や cos を含む極限で、ラジアンではなく度を使う。

7試験問題の例

• やさしい：直接代入と因数分解。代入すると 0/0 になるので、例のように因数分解して約分します。
• ふつう：無限大での極限。最高次のべきで割る、または √(x² + 4x) − x のような根号には共役を使います。
• むずかしい：ロピタルの定理。たとえば x → 0 のときの (eˣ − 1 − x)/x² や (1 − cos 3x)/x²。定理を 2 回使う必要があるかもしれません。

簡単な確認：その点にとても近い数を電卓で代入します。結果は、あなたの答えに近いはずです。