数値計算法：ステップごとの解答つき練習問題

1なぜ数値計算法か、そして二分法

多くの方程式や積分には、答えの公式がありません：x = cos x、∫e^−x²dx、あるいはほとんどの微分方程式などです。数値計算法は、必要な精度の答えを、ステップごとに計算します。

二分法は、f の符号が変わる区間 [a, b] で f(x) = 0 の根を見つけます。中点 c = (a + b)/2 を取り、符号がなお変わる側の半分を残します。

例：[1, 2] 上の f(x) = x² − 2。c₁ = 1.5 では f = 0.25 > 0 なので [1, 1.5] を残します。c₂ = 1.25 では f = −0.4375 < 0 なので [1.25, 1.5] を残します。次に c₃ = 1.375 です。

各ステップで区間は半分になるので、n ステップ後の幅は (b − a)/2ⁿ です。二分法は遅いですが、符号の変化さえあれば必ず働きます。

2ニュートン–ラフソン法

ニュートン–ラフソン法は、接線を x 軸まで辿り、その交点を次の推定値とします：

f(x) = x² − 2、f′(x) = 2x、x₀ = 2 のとき：x₁ = 2 − 2/4 = 1.5、x₂ = 1.5 − 0.25/3 = 1.416667、x₃ = 1.414216。根は √2 = 1.414214 です。

根の近くでは、ニュートン法は 1 ステップごとに正しい桁数がおよそ 2 倍になります。f′(xₙ) が 0 に近いときや、出発点が根から遠いときは、失敗することがあります。

各反復値で少なくとも 6 桁を保ちましょう。早く丸めると、方法が改善しなくなります。

3線形補間

表には、決まった点での値しかありません。線形補間は、表の隣り合う 2 点の間に直線を引きます：

例：表に f(1) = 2.0 と f(2) = 2.6 があります。x = 1.4 では割合が 0.4 なので、f(1.4) ≈ 2.0 + 0.6·0.4 = 2.24 です。

逆補間も同様に、向きを逆にして行います：y = 2.3 となる位置を求めるには、割合は (2.3 − 2.0)/0.6 = 0.5 なので、x ≈ 1.5 です。

4台形公式とシンプソンの公式

f を a から b まで積分するには、区間を幅 h = (b − a)/n、節点 x₀, x₁, …, xₙ の n 個の短冊に分けます。

台形公式は、各短冊の曲線を直線で置き換えます。内側の節点はどれも 2 つの短冊に属するので、2 回数えます：

シンプソンの公式は、3 つの節点ごとに放物線を当てはめます。n は偶数が必要です：

n = 2（h = 0.5）での ∫₀¹ x² dx = 1/3 では：T = 0.25·(0 + 0.5 + 1) = 0.375、S = (0.5/3)·(0 + 1 + 1) = 0.3333 で、厳密な値と一致します。

台形公式の誤差は h² のように、シンプソンの公式の誤差は h⁴ のように小さくなります：h を半分にすると、シンプソンの公式は約 16 倍正確になります。

5微分方程式のオイラー法とホイン法

y(t₀) = y₀ のもとでの y′ = f(t, y) を、刻み幅 h で時間を進めて解きます。オイラー法は、各ステップの開始点での傾きを使います：

ホイン法（改良オイラー法）は、オイラー法で予測し、両端での傾きを平均します：k₁ = f(tₙ, yₙ)、k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)、y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)。

オイラー法の誤差は h に、ホイン法の誤差は h² に比例します。古典的ルンゲ–クッタ法（RK4）は 4 つの傾きを使い、h⁴ の精度をもちます。

6よくある間違いと試験問題

• 二分法の最初の中点をステップ 0 と数える、または区間の誤った半分を残してしまう。
• ニュートン法で、x − f/f′ の代わりに x − f′/f と書いてしまう。
• 台形公式で、内側の節点の係数 2 を忘れる、または h/2 の代わりに h を使ってしまう。
• シンプソンの公式を奇数個の短冊で使ってしまう。
• オイラー法で、ステップの終わりの傾きを使う、またはステップを 1 回少なくしてしまう。

やさしい：二分法、ニュートン法の反復、表の補間。ふつう：台形公式とシンプソンの公式、その誤差、必要な短冊の数。むずかしい：微分方程式のオイラー法、ホイン法、ルンゲ–クッタ法のステップ。