微分方程式：練習問題と試験問題

1 階微分方程式とその応用：成長と減衰、ニュートンの冷却の法則、混合問題、積分因子を使う線形方程式、そして公式による解がない方程式のためのオイラー法とホイン法。

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この科目のトピック

微分方程式の試験のコツ

まず型を見分けましょう：変数分離形、線形、または増加や冷却のような標準的なモデル。
最後に初期条件を使って定数を求めましょう。
答えを元の方程式に代入して確かめましょう。

解答例

微分方程式やさしい

方程式 y″ + 4y′ + 3y = 0 について、特性方程式の根のうち 0 に最も近いもの r を求めなさい。それが解の減衰の遅さを決めます。

y″ + 4y′ + 3y = 0

求めるもの： r

ヒントを表示

y = e^rt を代入します。
r² + 4r + 3 = 0.
因数分解するか、解の公式を使います。

答えとステップごとの解答を表示

2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = e^rt とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·e^rt（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 の形に書くと、ω_n は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。

固有方程式

r² + 4r + 3 = (r + 1)(r + 3) = 0

根

r = −1, r = −3

0 に最も近い: r = −1

答え

r = −1

一般解は y = A·e^−1t + B·e^−3t です。

積分ふつう

I = ∫₀² x·cos x dx（x はラジアン）を計算しなさい。

∫₀² x·cos x dx

求めるもの： I

ヒントを表示

u = x、dv = cos x dx とします。
v = sin x.
∫x cos x dx = x sin x + cos x.

答えとステップごとの解答を表示

部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。

u と dv を選ぶ

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

原始関数

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

極限

(2·sin 2 + cos 2) − (0 + 1) = 0.4024

答え

I = 0.4024

練習のしかた

「この科目を練習する」では、本番の試験のように、すべてのトピックの問題が混ざって出題されます。
問題ごとに数値が変わるので、答えではなく解き方が身につきます。
行き詰まったら、まず小さなヒントを開き、必要なときだけ詳しい解説を見ましょう。
模擬試験には制限時間があり、ヒントはありません。最後にスコアと詳しい振り返りが表示されます。

この科目の計算ツール

半減期と指数関数的減衰の計算ツール途中式つきの導関数の計算ツール積分の計算ツール（定積分と不定積分）