積分の計算ツール（定積分と不定積分）
値を入力してください。入力に合わせて答えと詳しい解答が更新されます。
結果
1/x の原始関数は ln|x| です：絶対値により、負の x でも成り立ちます。
原始関数を求める、または定積分を計算します。x の冪、1/x、e^(ax + b)、sin・cos・sec²(ax + b)、(ax + b)ⁿ、ln(ax + b) のような標準的な項の和では、計算ツールは項ごとに積分して F(b) − F(a) を厳密に求めます。それ以外の連続関数は、適応型シンプソン法で数値的に積分され、計算ツールは広義積分について警告します。
ステップごとの解答
関数と積分の範囲を読み取る
項ごとに原始関数を求める
F(b) − F(a) を計算する
数値による確認
重要な公式
- べき乗の微分
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定積分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 主な不定積分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲線で囲まれた面積
- ∫ab (f − g) dx
定積分の計算のしかた
- 被積分関数を項の和に分け、それぞれを別々に積分します。定数倍は前に残します。
- n ≠ −1 では冪の法則 ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) を、∫ 1/x dx = ln|x| を使います。
- ax + b の関数では a で割ります：∫ e^(ax + b) dx = e^(ax + b)/a、∫ cos(ax + b) dx = sin(ax + b)/a。
- 原始関数を上端と下端で評価して引きます：a から b までの ∫ f(x) dx = F(b) − F(a)。定数 C は打ち消されます。
- 被積分関数が [a, b] で連続かを確かめます。x = 0 での 1/x のように垂直な漸近線があれば、その積分は広義積分で、極限が必要です。
質問と回答
計算ツールは、どの積分を厳密に解きますか？
xⁿ（任意の有理数 n）、1/x、e^(ax + b)、kˣ、sin(ax + b)、cos(ax + b)、sec²(ax + b)、csc²(ax + b)、ax + b の sec·tan と csc·cot、(ax + b)ⁿ、ln(ax + b) の定数倍の和です。x·eˣ のような積は部分積分が必要なので、代わりに数値的に計算されます。
数値積分はどのくらい正確ですか？
適応型シンプソン法は、推定値が変化する区間の部分を半分にし続け、滑らかな関数では約 10 桁の有効数字で一致するまで続けます。計算ツールは、関数の評価回数と誤差の推定値を示します。
+ C とは何ですか？
積分定数です。定数の導関数は 0 なので、どの関数にも、定数だけ異なる無数の原始関数があります。定積分では打ち消されます。
広義積分に関するエラーが出るのはなぜですか？
被積分関数が [a, b] のどこかで定義されていないか無限大になっています。たとえば [−1, 1] での 1/x や、π/2 をまたぐ tan(x) です。このような積分には極限が必要で、発散することもあるので、計算ツールは値を示しません。
積分の範囲に π を使えますか？
はい。pi、pi/2、2pi、または e を範囲として入力できます。たとえば sin(x) の 0 から pi までの積分は 2 です。
自分で練習する
積分を練習
計算ツールは答えを出してくれます。でも試験で必要なのは解き方です。新しい問題、ヒント、解答で練習しましょう。