ベクトル：内積と外積：ステップごとの解答つき練習問題

図、ヒント、詳しい解答つきの無料のベクトル：内積と外積練習問題。毎回新しい数値で、3 つのレベル：大きさと成分, 内積, 外積とモーメント。

無料の練習問題やさしい
xyza

ベクトル a = (6, −5, 9) の大きさ |a| を求めよ。

a = (6, −5, 9)
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練習する内容

  1. やさしい大きさと成分
  2. ふつう内積
  3. むずかしい外積とモーメント

ベクトル：内積と外積の問題の解き方

  1. すべてのベクトルを成分で書きます。大きさと角度で与えられた力には F·cos θ と F·sin θ を使います。
  2. 長さと向きには、大きさ √(x² + y² + z²) と単位ベクトル a/|a| を使います。
  3. 角度、射影、垂直性、仕事には内積を使います：a·b = |a||b|cos θ。
  4. 垂直なベクトル、面積、モーメントには外積を使います：3 つの成分を慎重に書き、順序 a × b を守ります。

よくある間違い

  • 成分ではなく大きさを足してしまう。
  • 外積の中央（y）成分の符号を間違える。
  • モーメントで r = A − O ではなく、点の位置そのものを使う。
  • 象限を確認せずに arctan をとる。

重要な公式

大きさ
|a| = √(ax² + ay² + az²)
単位ベクトル
û = a/|a|
角度から成分を求める
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
内積
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
a の b 上へのスカラー射影
a·b/|b|
仕事
W = F·d
外積
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
面積
平行四辺形 |a × b|, 三角形 ½|a × b|
O まわりのモーメント
MO = r × F, r = A − O
平行六面体の体積
V = |a·(b × c)|

ベクトル：内積と外積をゼロから学ぶ

1ベクトルとは

数だけで足りる量があります：5 kg の質量や 20 °C の温度。これらはスカラーです。

向きも必要な量があります。上向きに押す 40 N の力は、横向きに押す 40 N とは大きく違います。これらはベクトルです。

ベクトルは成分で表します：x 方向、y 方向、z 方向にどれだけ伸びるか。ベクトル a = (4, 3, 0) は、x 方向に 4、y 方向に 3、z 方向に 0 だけ伸びます。

xyaax​ = 4ay​ = 3θO

力、変位、速度はすべてベクトルです。技術者は、力の合成、角度の計算、3 次元でのモーメントの計算にベクトルの計算を使います。

ベクトルは成分ごとに足します：(1, 2, 0) + (3, −1, 4) = (4, 1, 4)。これが、複数の力の合力の求め方です。

セルフチェック ベクトル a = (3, 4, 0) の長さはいくらか。
  1. 1
  2. 25
  3. 5
  4. 7

答え: 5. 長さは √(3² + 4² + 0²) = √25 = 5 です。成分を足す（7）のは、成分が互いに垂直なので誤りで、25 は平方根を忘れています。

2長さ、向き、成分

大きさ |a| はベクトルの長さです。3 次元でのピタゴラスの定理です：

|a| = √(ax² + ay² + az²)

単位ベクトルは長さが 1 で、同じ向きを指します。すべての成分を大きさで割ると得られます：

û = a / |a|

a = (0, 3, 4) では大きさが 5 なので、û = (0, 0.6, 0.8) です。確認：0.6² + 0.8² = 1。

xy 平面内の力は、大きさ F と、正の x 軸から反時計回りに測った角 θ で与えられることがよくあります。成分は次のとおりです：

Fx = F·cos θ Fy = F·sin θ

コサインとサインが符号を自動的に与えます。120° の力は、cos 120° = −0.5 なので、x 成分が負になります。

成分から角度に戻るとき、arctan(Ry/Rx) は −90° から 90° の答えしか与えません。Rx が負なら 180° を加えます。Ry だけが負なら 360° を加えます。

セルフチェック a = (0, 3, 4) の向きの単位ベクトルの y 成分はいくらか。
  1. 0.12
  2. 0.43
  3. 0.6
  4. 3

答え: 0.6. 大きさ 5 で割ります：3/5 = 0.6。3 は割るのを忘れており、0.12 は |a|² = 25 で割り、0.43 は成分の和（7）で割っています。

3内積と外積

2 つのベクトルの掛け方は 2 通りあります。内積は数を与えます。外積は新しいベクトルを与えます。

a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ

ここで θ は 2 つのベクトルのなす角です。内積は、ベクトルがどれだけ同じ向きを指すかを測ります。垂直なら 0 です。

dFθ|F|·cos θ
  • 角度：cos θ = a·b / (|a|·|b|)。
  • a の b への射影（スカラー）（a のうち b に沿った部分）：a·b / |b|。
  • 変位 d の間に一定の力 F がする仕事：W = F·d。
  • 2 つのベクトルが垂直であるのは a·b = 0 のときです。

外積 a × b は、a と b の両方に垂直なベクトルです。その長さは、2 つのベクトルが張る平行四辺形の面積に等しくなります。

a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
aba × bA

a = (1, 2, 0)、b = (3, 1, 0) のとき：a × b = (2·0 − 0·1, 0·3 − 1·0, 1·1 − 2·3) = (0, 0, −5)。平行四辺形の面積は 5、三角形はその半分の 2.5 です。

順序が重要です：b × a = −(a × b)。点 A に働く力 F の点 O まわりのモーメントは M = r × F で、r = A − O です。

セルフチェック a = (2, 1, 0)、b = (1, 4, 0) のとき、a × b の z 成分はいくらか。
  1. 6
  2. 7
  3. 9
  4. −7

答え: 7. z 成分 = axby − aybx = 2·4 − 1·1 = 7 です。−7 は b × a（順序の入れ替え）、6 は内積、9 は 2 つの積を引かずに足した値です。

4ステップごとの方法

  1. すべてのベクトルを成分で書きます。大きさと角度で与えられた力には、F·cos θ と F·sin θ を使います。
  2. 問題が点を与えるなら、そこからベクトルを作ります：A から B へのベクトルは B − A です。
  3. どの道具が必要かを決めます。長さと向き：大きさと単位ベクトル。角度、射影、仕事：内積。面積、垂直なベクトル、モーメント：外積。
  4. まず公式を書き、次に成分を 1 つずつ代入します。符号は括弧に入れておきます。
  5. 結果を確かめます：単位ベクトルの長さは 1、a × b は a に垂直（したがって a·(a × b) = 0）、ベクトル間の角は 0° から 180° の間にあります。

2 つのベクトルに垂直な単位ベクトルは、n = a × b をその長さで割って求めます。問題が正の z 成分を求めていて、得た値が負なら、すべての符号を反転します。

辺が a、b、c の箱（平行六面体）の体積は |a·(b × c)| です：まず外積、次に内積です。

5例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

例題

一定の力 F = (6, 2, −3) N が、物体を点 A(1, 0, 2) から点 B(3, 4, 2) まで直線上で押す。座標の単位は m である。この力がする仕事 W と、力と変位のなす角 θ を求めよ。

1

変位を作る

変位は A から B へのベクトルです：終点から始点を引きます。

d = B − A = (3 − 1, 4 − 0, 2 − 2) = (2, 4, 0) m
2

内積で仕事を求める

仕事は、力と変位の内積です。対応する成分を掛けて足します。

W = F·d = 6·2 + 2·4 + (−3)·0 = 12 + 8 + 0 = 20 J
3

2 つの大きさ

|F| = √(6² + 2² + (−3)²) = √49 = 7 N
|d| = √(2² + 4² + 0²) = √20 ≈ 4.472 m
4

角度

dFθ|F|·cos θ

内積のもう一つの形 F·d = |F|·|d|·cos θ を使い、cos θ について解きます。

cos θ = 20 / (7 · 4.472) = 0.6389
θ = arccos 0.6389 ≈ 50.3°
5

答えを確認する

仕事は正なので、角は 90° より小さいはずです。そのとおりです。

運動に沿った力の成分は |F|·cos θ = 7 · 0.6389 ≈ 4.47 N です。これに距離 4.472 m を掛けると、再び 20 J になります。

答え

W = 20 J、θ ≈ 50.3°。

6よくある間違い

  • 成分ではなく大きさを足す。互いに直角な 3 N と 4 N の力は、7 N ではなく 5 N になります。
  • モーメントで r = A − O の代わりに、点の座標をそのまま使う。
  • 外積の中央（y）成分の符号を間違える。azbx − axbz であり、逆ではありません。
  • 外積の順序を入れ替える。b × a は a × b と逆向きです。
  • ベクトルがどの象限にあるか確かめずに、向きに arctan を使う。
  • 三角形の面積の ½ を忘れる。|AB × AC| の半分です。
セルフチェック 力 F = (0, 10, 0) N が点 A(3, 0, 0) m に働く。点 O(1, 0, 0) m まわりのそのモーメントの大きさはいくらか。
  1. 10 N·m
  2. 20 N·m
  3. 30 N·m
  4. 40 N·m

答え: 20 N·m. r = A − O = (2, 0, 0) m なので、M = r × F = (0, 0, 2·10) = (0, 0, 20) N·m です。点 A そのものを r に使うと 30 N·m、A + O では 40 N·m、O だけでは 10 N·m になります。

7試験問題の例

  • やさしい：大きさと成分。ベクトルの長さ、単位ベクトルの 1 つの成分、大きさと角度で与えられた力の成分、または 2 つの力の合力の大きさや向き。
  • ふつう：内積。内積、2 つのベクトルのなす角、スカラー射影、2 点間で力がする仕事、または 2 つのベクトルを垂直にする k の値。
  • むずかしい：外積とモーメント。a × b の 1 つの成分、平行四辺形や三角形の面積、点まわりの力のモーメント、単位法線ベクトル、またはスカラー三重積から求める箱の体積。

垂直性の問題では、a·b = 0 とおきます。k についての 1 次方程式が得られます。

頂点が A、B、C の三角形では、辺のベクトル AB = B − A と AC = C − A を使います。面積は ½·|AB × AC| です。

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解答例

例題 1やさしい
xy135°F1​F2​

xy 平面内の 1 点に 2 つの力が作用している：F₁ = 110 N（0° の向き）と F₂ = 190 N（135° の向き）。角度はいずれも正の x 軸から反時計回りに測る。 それらの合力の向き φ を、正の x 軸から反時計回りに（0° から 360° の範囲で）求めよ。

F1 = 110 N, θ1 = 0°F2 = 190 N, θ2 = 135°

求めるもの： φ (°)

ヒントを表示
  1. 各力を x 成分と y 成分に分けます。
  2. x 成分どうし、y 成分どうしを別々に足します。
  3. Rₓ = −24.35 N, Ry = 134.4 N.
答えとステップごとの解答を表示

Vectors: a vector a = (ax, ay, az) has magnitude |a| = √(ax² + ay² + az²), and the unit vector in its direction is û = a/|a|. A vector of magnitude F at an angle θ measured anticlockwise from the positive x-axis has components Fx = F·cos θ and Fy = F·sin θ. Vectors add component by component.

合力の成分

Rₓ = 110·cos 0° + 190·cos 135° = −24.35 N
Ry = 110·sin 0° + 190·sin 135° = 134.4 N

向き

Rₓ が負なので、合力は第 2 または第 3 象限を向きます。電卓で得た角度に 180° を加えましょう。

arctan(Ry/Rₓ) = arctan(134.4/−24.35) = −79.73°
φ = 100.3°

答え

φ = 100.3°
例題 2ふつう
xyzab

ベクトル a = (−4, −4, 0) と b = (k, 6, 4) が垂直になるような k の値を求めよ。

a = (−4, −4, 0)b = (k, 6, 4)

求めるもの： k

ヒントを表示
  1. 垂直なベクトルの内積は 0 です。
  2. a·b = 0 を k を未知数として書き、一次方程式を解きます。
  3. (−4)·k + (−4)·6 + 0·4 = 0.
答えとステップごとの解答を表示

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

内積 = 0

a·b = (−4)·k + (−4)·6 + 0·4 = 0
−24 + (−4)·k = 0

k について解く

k = −(−24)/(−4) = −6

答え

k = −6
例題 3むずかしい
xyzABC

頂点 A(−3, −4, −1)、B(−4, 3, −3)、C(1, 4, −4) をもつ三角形の面積 A を求めよ。座標の単位はメートルである。

A(−3, −4, −1)B(−4, 3, −3)C(1, 4, −4)

求めるもの： A (m²)

ヒントを表示
  1. 同じ頂点から 2 つの辺ベクトルを作ります：AB = B − A、AC = C − A。
  2. 面積は ½·|AB × AC| です。
  3. AB × AC = (−5, −11, −36).
答えとステップごとの解答を表示

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

辺ベクトル

AB = B − A = (−1, 7, −2)
AC = C − A = (4, 8, −3)

外積

(AB × AC)x = AByACz − ABzACy = 7·(−3) − (−2)·8 = −5
(AB × AC)y = ABzACx − ABxACz = (−2)·4 − (−1)·(−3) = −11
(AB × AC)z = ABxACy − AByACx = (−1)·8 − 7·4 = −36
|AB × AC| = √((−5)² + (−11)² + (−36)²) = 37.97

三角形の面積

A = ½·37.97 = 18.99 m²

答え

A = 18.99 m²

質問と回答

ベクトル：内積と外積とは？

数だけで足りる量があります：5 kg の質量や 20 °C の温度。これらはスカラーです。

向きも必要な量があります。上向きに押す 40 N の力は、横向きに押す 40 N とは大きく違います。これらはベクトルです。

ベクトル：内積と外積の問題の解き方は？（手順）
  1. すべてのベクトルを成分で書きます。大きさと角度で与えられた力には F·cos θ と F·sin θ を使います。
  2. 長さと向きには、大きさ √(x² + y² + z²) と単位ベクトル a/|a| を使います。
  3. 角度、射影、垂直性、仕事には内積を使います：a·b = |a||b|cos θ。
  4. 垂直なベクトル、面積、モーメントには外積を使います：3 つの成分を慎重に書き、順序 a × b を守ります。
ベクトル：内積と外積でよくある間違いは？
  • 成分ではなく大きさを足してしまう。
  • 外積の中央（y）成分の符号を間違える。
  • モーメントで r = A − O ではなく、点の位置そのものを使う。
  • 象限を確認せずに arctan をとる。
ベクトル：内積と外積の練習では何を学ぶ？
  • やさしい: 大きさと成分
  • ふつう: 内積
  • むずかしい: 外積とモーメント

問題ごとに数値が変わるので、答えではなく解き方が身につきます。 行き詰まったら、まず小さなヒントを開き、必要なときだけ詳しい解説を見ましょう。

練習のしかた

  • 問題ごとに数値が変わるので、答えではなく解き方が身につきます。
  • 行き詰まったら、まず小さなヒントを開き、必要なときだけ詳しい解説を見ましょう。
  • 進捗、間違えた問題、保存した問題は記録されるので、試験前に復習できます。

このトピックを含む科目

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