カイ二乗検定：ステップごとの解答つき練習問題

1カイ二乗検定は何をするか

カイ二乗検定（χ²、「カイじじょう」）は度数を比べます。観測した度数が、期待される度数と偶然以上に異なるかどうかを調べます。

例：さいころを 60 回振ります。公平なら、各目は約 60 · 1/6 = 10 回出るはずです。これが期待度数 E です。

観測したのは 8、12、9、11、6、14 です。これらが観測度数 O です。公平なさいころでも、ちょうど 10 になることはありません。問題は、それが離れすぎているかどうかです。

あらゆる仮説検定と同じく、H₀ は特別なことは何も起こっていないと述べます：さいころは公平である、または 2 つの変数は独立である、というように。

2検定統計量

各カテゴリーについて、差 O − E を求め、2 乗して、E で割ります。そして、すべてのカテゴリーにわたって足します。

2 乗すると、どの項も正になります。E で割ることで、期待が 10 しかないときの 4 の差は、期待が 1000 のときの 4 の差より大きく効きます。

さいころの場合：(8 − 10)²/10 + (12 − 10)²/10 + … + (14 − 10)²/10 = (4 + 4 + 1 + 1 + 16 + 16)/10 = 4.2。

この適合度検定の自由度は df = k − 1 で、k はカテゴリーの数です。6 つの目なので df = 5 です。

χ² が大きいことは、データが H₀ によく合わないことを意味します。χ² が表の臨界値より大きければ、H₀ を棄却します。α = 0.05 では：

• df 1: 3.841, df 2: 5.991, df 3: 7.815
• df 4: 9.488, df 5: 11.070, df 6: 12.592

さいころの場合、4.2 は 11.070 より小さいので、不公平だという証拠はありません。

3独立性の検定

分割表は、処置（行）と結果（列）のように、2 つの変数で同時に事例の数を数えたものです。H₀：2 つの変数は独立である。

独立であれば、各セルの期待度数は合計から求まります。

そのあと χ² は、表の合計を除くすべてのセルについて、先ほどと同じ式で計算します。

ここで r は行の数、c は列の数で、合計は数えません。2×2 の表では df = 1 です。

4ステップごとの方法

1. H₀ を述べます：主張された割合が正しい（適合度）、または変数が独立である。
2. すべての期待度数を計算します：E = n · p、または 行の合計 × 列の合計 / 総計。
3. 各セルについて (O − E)²/E を計算します。すべて足すと χ² が得られます。
4. df を求めます：適合度では k − 1、独立性では (r − 1)(c − 1)。
5. その df に対する α = 0.05 の臨界値を調べます。
6. χ² が臨界値より大きければ、H₀ を棄却します。結論を言葉で述べます。

確認：各行と各列の期待度数の合計は、観測度数の合計と同じになります。

5例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

6よくある間違い

• 度数ではなく、パーセンテージや割合を使うこと。χ² は度数でしか使えません。
• E ではなく O で割ること。
• 合計の行や列を和に含めること。
• 間違った df を使うこと：表では (r − 1)(c − 1) であり、セルの数 − 1 ではありません。
• χ² が臨界値より小さいのに H₀ を棄却すること。H₀ に反する証拠になるのは、大きな χ² だけです。

7試験問題の例

• やさしい：適合度。さいころの目やお菓子の色の度数を、主張された割合と比べます。χ² を計算します。
• ふつう：独立性の検定。合計から期待度数を求め、続いて連続性の補正なしで χ² を計算します。
• むずかしい：臨界値による判断。df を求め、表から α = 0.05 での臨界値 χ²_crit を求めます。

手早い確認：χ² は決して負にならず、観測度数がすべて期待度数に等しいときだけ 0 になります。