連立 1 次方程式のソルバー（2×2 と 3×3）
値を入力してください。入力に合わせて答えと詳しい解答が更新されます。
結果
x2
y3
z−1
係数行列の階数3
行列式−1
2 つまたは 3 つの連立 1 次方程式を解きます。2x + y − z = 8 のように、書くとおりに方程式を入力するか、拡大係数行列を入力します。計算ツールは、ガウス–ジョルダン消去法のすべての行操作、またはクラメルの公式の行列式を示し、厳密な分数で計算して、解がない、あるいは解が無数にある連立方程式を見分け、後者はパラメータを使って書きます。
ステップごとの解答
連立方程式
2x + y − z = 8
−3x − y + 2z = −11
−2x + y + 2z = −3
拡大係数行列
[ 2 1 −1 │ 8 ]
[ −3 −1 2 │ −11 ]
[ −2 1 2 │ −3 ]
柱 1 (x): ピボットのある行 1
R1 → (1/2)·R1
R2 → R2 + 3·R1
R3 → R3 + 2·R1
[ 1 1/2 −1/2 │ 4 ]
[ 0 1/2 1/2 │ 1 ]
[ 0 2 1 │ 5 ]
柱 2 (y): ピボットのある行 2
R2 → 2·R2
R1 → R1 − (1/2)·R2
R3 → R3 − 2·R2
[ 1 0 −1 │ 3 ]
[ 0 1 1 │ 2 ]
[ 0 0 −1 │ 1 ]
柱 3 (z): ピボットのある行 3
R3 → (−1)·R3
R1 → R1 + R3
R2 → R2 − R3
[ 1 0 0 │ 2 ]
[ 0 1 0 │ 3 ]
[ 0 0 1 │ −1 ]
解を読み取る
x = 2
y = 3
z = −1
元の方程式で確かめる
2·2 + 1·3 + (−1)·(−1) = 8 ✓
(−3)·2 + (−1)·3 + 2·(−1) = −11 ✓
(−2)·2 + 1·3 + 2·(−1) = −3 ✓
重要な公式
- 2×2 の行列式
- det = ad − bc
- 2×2 の逆行列
- A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
- クラメルの公式
- xi = det(Ai)/det(A)
消去法で連立 1 次方程式を解く方法
- 連立方程式を拡大係数行列に書きます：1 つの方程式につき 1 行で、x, y, z の係数と、縦線のあとに右辺を置きます。
- 第 1 列でピボット（0 でない成分で、できれば 1）を選び、必要なら第 1 行に入れ替えます。
- ピボットの行をピボットで割り、その倍数をほかの行から引いて、その列の残りを 0 にします。
- 次の列と次の行で繰り返し、係数の部分が被約階段形になるまで続けます。
- 解を読み取ります。c ≠ 0 の行 0 = c は解がないことを意味し、ピボットのない列は自由変数と、無数の解を意味します。
- 解を元の方程式に代入して確かめます。
質問と回答
クラメルの公式はいつ使えばよいですか？
行列式が 0 でない小さな連立方程式、特に 2×2 に使います。各未知数は行列式の比です：x = Dx/D。大きな連立方程式や D = 0 のときは、消去法のほうが速く、解がないのか無数にあるのかも分かります。
連立方程式に解がないことは、どうやって分かりますか？
消去法で、係数がすべて 0 なのに右辺が 0 でない行（0 = 3 など）が現れたときです。幾何学的には、直線や平面が共通の点をもたず、たとえば 2 本の平行線になります。
解が無数にあるとはどういう意味ですか？
1 つの方程式がほかの方程式の組み合わせなので、独立した方程式が未知数より少ないのです。解は直線や平面になり、パラメータ t を使って書きます：たとえば x = 2 − t、y = 1 + t、z = t。
方程式はどう入力しますか？
方程式をセミコロンで区切り、各変数の前に係数を書きます：2x + 3y − z = 5; x − y = 1; 4y + z = 0。1/2x のような分数や小数も使え、変数が両辺に現れてもかまいません。
階数とは何ですか？
消去後のピボットの数で、独立した方程式の数です。正方形の連立方程式に一意の解があるのは、階数が未知数の数に等しいとき、つまり行列式が 0 でないときに限ります。
自分で練習する
行列と行列式を練習
計算ツールは答えを出してくれます。でも試験で必要なのは解き方です。新しい問題、ヒント、解答で練習しましょう。