固有値・固有ベクトルの計算ツール
値を入力してください。入力に合わせて答えと詳しい解答が更新されます。
結果
λ15
λ23
λ32
特性多項式λ³ − 10λ² + 31λ − 30
トレース10
行列式30
| 固有値 | 重複度 | 固有ベクトル | 単位固有ベクトル |
|---|---|---|---|
| 5 | 1 | (2, 0, 1) | (0.8944, 0, 0.4472) |
| 3 | 1 | (1, 1, −1) | (0.5774, 0.5774, −0.5774) |
| 2 | 1 | (1, 0, −1) | (0.7071, 0, −0.7071) |
2×2 または 3×3 の行列の固有値と固有ベクトルを求めます。計算ツールは det(A − λI) を展開して特性多項式を作り、実数または複素数の固有値を重複度つきで解き、(A − λI)v = 0 を解いてすべての実固有値の固有ベクトルを求めます。各固有ベクトルは A·v を計算して確認し、固有値が重複する場合は行列が対角化できるかどうかも示します。
ステップごとの解答
特性方程式 det(A − λI) = 0
det(A − λI) = (4 − λ)[(3 − λ)(3 − λ) − 0·(−1)] − 1[0(3 − λ) − 0·1] + 2[0·(−1) − (3 − λ)·1]
= −(λ³ − 10λ² + 31λ − 30)
tr A = 10, 主小行列式（2×2）の和 = 31, det A = 30
λ³ − (tr A)λ² + (ΣM)λ − det A = λ³ − 10λ² + 31λ − 30 = 0
固有値
(λ − 5)(λ − 3)(λ − 2) = 0
λ = 5, 3, 2
確認: Σλ = 10 = tr A
固有ベクトル (λ = 5)
A − λI = [−1 1 2; 0 −2 0; 1 −1 −2]
(A − λI)·v = 0 → v = (2, 0, 1)
A·(2, 0, 1) = (10, 0, 5) = 5·(2, 0, 1) ✓
固有ベクトル (λ = 3)
A − λI = [1 1 2; 0 0 0; 1 −1 0]
(A − λI)·v = 0 → v = (1, 1, −1)
A·(1, 1, −1) = (3, 3, −3) = 3·(1, 1, −1) ✓
固有ベクトル (λ = 2)
A − λI = [2 1 2; 0 1 0; 1 −1 1]
(A − λI)·v = 0 → v = (1, 0, −1)
A·(1, 0, −1) = (2, 0, −2) = 2·(1, 0, −1) ✓
重要な公式
- 固有値
- det(A − λI) = 0
固有値と固有ベクトルの求め方
- A のすべての対角成分から λ を引いて、A − λI を作ります。
- 行列式をゼロとおきます：det(A − λI) = 0。2×2 行列では λ² − (tr A)λ + det A = 0、3×3 行列では 3 次方程式になります。
- 特性方程式を解きます。確認：固有値の和はトレースに等しく、積は行列式に等しくなります。
- 各固有値について、行基本変形で (A − λI)v = 0 を解きます。解は直線（または平面）をなし、その中のゼロでない任意のベクトルが固有ベクトルです。
- すべての固有ベクトルを確認します：A·v は λ·v に等しくなければなりません。
質問と回答
行列はどのように入力しますか？
行をセミコロンで区切り、各行の数をスペースで区切って入力します。たとえば 3×3 行列なら 4 1 2; 0 3 0; 1 -1 3 のようにします。小数と負の数も使えます。
行列が複素固有値を持つことがあるのはなぜですか？
特性多項式は複素数の根を持つことがあり、実行列では必ず共役対として現れます。回転行列 0 -1; 1 0 の固有値は ±i です。回転によって向きが変わらない実ベクトルは存在しないからです。
固有値が重複するとはどういう意味ですか？
特性多項式の根の重複度が 2 または 3 であることです。単位行列のようにその数だけ独立な固有ベクトルを持つ場合もあれば、それより少ない場合もあります。少ない場合、その行列は欠陥行列で、対角化できません。
固有ベクトルは一意ですか？
いいえ。固有ベクトルのゼロでない定数倍も固有ベクトルです。計算ツールは、可能なら整数を使った簡単な形と、長さ 1 の単位ベクトルを示します。
固有値は何に使われますか？
振動系の固有振動数、応力テンソルの主応力、微分方程式系の安定性、主成分分析の主方向などを与えます。
自分で練習する
行列と行列式を練習
計算ツールは答えを出してくれます。でも試験で必要なのは解き方です。新しい問題、ヒント、解答で練習しましょう。