2 次方程式のソルバー（ax² + bx + c = 0）
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結果
根x₁ = 5/2, x₂ = −1
x₁2.5
x₂−1
判別式 Δ49
解の種類異なる 2 つの実数解
頂点(0.75, −6.125)
対称軸x = 0.75
y 切片−5
放物線の開く向き上向き（頂点で最小）
因数分解形(2x − 5)(x + 1)
あらゆる 2 次方程式 ax² + bx + c = 0 を解きます。計算ツールは判別式を求め、解の公式を使って、解を小数と厳密な形（分数や 2 ± √3 のような簡約した平方根。複素数の解も含む）の両方で示します。また、頂点・対称軸・因数分解形を求め、解と係数の関係で解を確かめます。
ステップごとの解答
a, b, c を見分ける
2x² − 3x − 5 = 0: a = 2, b = −3, c = −5
判別式
Δ = b² − 4ac = (−3)² − 4·2·(−5) = 49
Δ > 0 → 異なる 2 つの実数解
2 次方程式の解の公式
x = (−b ± √Δ)/(2a) = (3 ± √49)/4
正確な値: x₁ = 5/2, x₂ = −1
x₁ = 2.5, x₂ = −1
頂点と対称軸
h = −b/(2a) = 3/4 ≈ 0.75
k = c − b²/(4a) = −49/8 ≈ −6.125
頂点形式: y = 2(x − 0.75)2 − 6.125
因数分解形
2x² − 3x − 5 = (2x − 5)(x + 1)
解と係数の関係で確かめる
x₁ + x₂ = −b/a = 1.5
x₁·x₂ = c/a = −2.5
重要な公式
- p² < 4q の 2 次方程式
- z = −p/2 ± j√(q − p²/4)
2 次方程式の解き方
- 方程式を標準形 ax² + bx + c = 0 に書き、a, b, c を符号つきで読み取ります。
- 判別式 Δ = b² − 4ac を計算します。Δ > 0 なら異なる 2 つの実数解、Δ = 0 なら 1 つの重解、Δ < 0 なら共役な 2 つの複素数解です。
- 解の公式 x = (−b ± √Δ)/(2a) を使います。平方因子を外に出して平方根を簡約します：√12 = 2√3。
- Δ < 0 では √Δ = i·√|Δ| と書くので、解は −b/(2a) ± i·√|Δ|/(2a) です。
- 放物線 y = ax² + bx + c の頂点は x = −b/(2a) にあります。代入して y 座標を求めます。
- 検算：解の和は −b/a、積は c/a です。
質問と回答
公式の代わりに因数分解できるのはいつですか？
判別式が完全平方数で、係数が整数のとき、解は有理数で、2 次式は 2x² − 3x − 5 = (2x − 5)(x + 1) のように整数の範囲で因数分解できます。それ以外のときは、解の公式が確実な方法です。
判別式が負とはどういう意味ですか？
放物線が x 軸と交わらないので、実数解はありません。2 つの解は共役複素数 p ± qi で、たとえば減衰振動や回路解析で重要になります。
頂点形式とは何ですか？
y = a(x − h)² + k で、(h, k) が頂点です。放物線の最小値（a > 0）または最大値（a < 0）が直接分かり、平方完成によって求められます。
a = 0 のときはどうなりますか？
そのときの方程式は 1 次の bx + c = 0 で、解は x = −c/b の 1 つだけです。解の公式は 0 で割ることになるので、計算ツールは 0 でない a を求めます。
なぜ計算ツールは厳密な解を出すのですか？
試験では、小数ではなく (3 ± √17)/4 のような答えを求められることがよくあります。a, b, c が整数または小数のとき、計算ツールは厳密な分数で計算し、平方根を簡約します。
自分で練習する
複素数を練習
計算ツールは答えを出してくれます。でも試験で必要なのは解き方です。新しい問題、ヒント、解答で練習しましょう。