AP Calculus の練習問題：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

極限

直接代入: まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
因数分解して約分: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共役な式: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
無限大での極限: x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
特別な極限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
ロピタルの定理: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

微分

べき乗の微分: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
積の法則: (uv)′ = u′v + uv′
商の微分法: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
連鎖律: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
主な導関数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

解き方

式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
整理し、指定があればその点での値を求めます。

最適化

解き方: Q(x) を 1 変数で表し、Q′(x) = 0 を解いて、Q″ または端点を調べる
最大値: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
最小値: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ふたのある円柱: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
利益: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

数列と級数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
無限等比級数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p 級数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比判定法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
収束半径: R = lim |c_k/c_k+1|
テイラー多項式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
マクローリン級数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ラグランジュの誤差評価: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

解き方

種類を見極めましょう：等差（一定の差）、等比（一定の比）、標準的な級数、べき級数、テイラー多項式。
和には Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)、または |r| < 1 のとき S = a₁/(1 − r) を使います。a₁ はその和の最初の項です。
収束については：まず第 n 項判定法、次に Σ1/kᵖ や等比級数との比較を行い、階乗や k 乗には比判定法か根判定法を使います。
テイラー多項式では、f(a)、f′(a)、f″(a)、… を並べ、第 k 階導関数を k! で割り、誤差を M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! で評価します。

2演習問題

1.極限ふつう

極限 L = lim_x→∞ (√(4x² + 10x) − 2x) を求めなさい。

f(x) = √(4x² + 10x) − 2xx → ∞

L =

2.極限むずかしい

極限 L = lim_x→0 ln(1 + 4x)/sin(2x) を求めなさい。x の単位はラジアンとします。

f(x) = ln(1 + 4x)/sin(2x)x → 0

L =

3.微分ふつう

f(x) = ln(x² + 5) とします。f′(2) を求めなさい。

f(x) = ln(x² + 5)x = 2

f′(2) =

4.微分むずかしい

f(x) = x³ − 3x² − 9x − 1 とします。極小点の x 座標 x を求めなさい。

f(x) = x³ − 3x² − 9x − 1

x =

5.最適化ふつう

800 m² の長方形の土地の 4 辺すべてに柵を設けます。道路に面した長さ x の辺は 1 m あたり €40、ほかの 3 辺は 1 m あたり €10 かかります。費用が最小になる道路側の辺の長さ x を求めなさい。

A = 800 m²€40/m€10/m

x = m

6.最適化むずかしい

ある会社は週に q 個を販売します。販売できる価格は 1 個あたり p = 160 − 0.5q ユーロ、費用は C(q) = 1300 + 80q ユーロです。利益が最大になる価格 p を求めなさい。

p = 160 − 0.5qC = 1300 + 80q

p = €

7.積分ふつう

I = ∫₀^π x·sin x dx（x はラジアン）を計算しなさい。

∫₀^π x·sin x dx

I =

8.積分むずかしい

放物線 y = 4 − x² と x 軸で囲まれた部分の面積 A を求めなさい。

y = 4 − x²

A =

9.微分方程式ふつう

5 °C の缶ジュースを冷蔵庫から 26 °C の部屋に出します。 24 分後の温度は 20 °C です。温度はニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) に従います。定数 k を min⁻¹ で求めなさい。

T₀ = 5 °CT_a = 26 °CT(24) = 20 °C

k = min⁻¹

10.微分方程式むずかしい

y′ + 0.5y = 7e^−3t、y(0) = 1 を解きなさい。y(1.5) を求めなさい。

y′ + 0.5y = 7e^−3ty(0) = 1

y(1.5) =

11.数列と級数ふつう

Σ_k=1^∞ ((4k + 3)/(2k + 3))ᵏ に根判定法を適用してください。L = lim |a_k|^1/k を求めてください。

a_k = ((4k + 3)/(2k + 3))ᵏ

L =

12.数列と級数むずかしい

a = 1 のまわりでの f(x) = 1/x のテイラー級数で、(x − 1)⁴ の係数 c₄ を求めてください。

f(x) = 1/xa = 1k = 4

c₄ =

3溶液

1.極限

答え: L = 2.5

極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。

共役な式を掛ける

f(x) = 10x/(√(4x² + 10x) + 2x)

x で割る

f(x) = 10/(√(4 + 10/x) + 2)

x → ∞ とする

L = 10/(2 + 2) = 2.5

答え

L = 2.5

2.極限

答え: L = 2

ロピタルの定理

L = lim_x→0 [4/(1 + 4x)]/[2·cos 2x]

x = 0 を代入する

L = 4/2 = 2

答え

L = 2

3.微分

答え: f′(2) = 0.4444

微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。

対数の連鎖律

f′(x) = 2x/(x² + 5)

代入する

f′(2) = 4/9 = 0.4444

答え

f′(2) = 0.4444

4.微分

答え: x = 3

導関数

f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3·(x² − 2x − 3)

f′(x) = 0 を解く

x = −1 または x = 3

どちらがどちらか

f″(x) = 6x − 6：極大では負、極小では正。

f″(−1) = −12, f″(3) = 12

x = 3

答え

x = 3

5.最適化

答え: x = 17.89 m

最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。

x の関数としての費用

C(x) = 50x + 16000/x

導関数をゼロとおく

C″(x) = 32000/x³ > 0 なので、これは最小です。

x = √(16000/50) = 17.89 m

y = 800/17.89 = 44.72 m

最小費用

C = 50·17.89 + 16000/17.89 = €1789

答え

x = 17.89 m

6.最適化

答え: p = 120 €

利益関数

P(q) = (160 − 0.5q)·q − (1300 + 80q) = −0.5q² + 80q − 1300

導関数をゼロとおく

P″(q) = −1 < 0 なので、これは最大です。

q = 80/1 = 80

価格と利益

p = 160 − 0.5·80 = €120

P = 80·80 − 0.5·80² − 1300 = €1900

答え

p = €120

7.積分

答え: I = 3.142

部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。

u と dv を選ぶ

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

原始関数

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

極限

(−π·cos π + sin π) − (0 + 0) = 3.142

答え

I = 3.142

8.積分

答え: A = 10.67

定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。

零点

4 − x² = 0 → x = ±2

積分する

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5.333 − (−5.333) = 10.67

答え

A = 10.67

9.微分方程式

答え: k = 0.0522 min⁻¹

1 階微分方程式：dy/dt = k·y の解は y = y₀·e^kt です（k > 0 なら増加、k < 0 なら減少）。半減期 T からは k = ln 2/T が得られます。ニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) からは T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt が得られます。線形方程式 y′ + p(x)·y = q(x) は積分因子 μ = e^{∫p dx} を使って解きます：(μy)′ = μq なので、μy = ∫μq dx + C です。

温度差の比

e^−24k = -6/-21

k について解く

k = ln(-21/-6)/24 = 0.0522 min⁻¹

答え

k = 0.0522 min⁻¹

10.微分方程式

答え: y(1.5) = 1.764

積分因子

μ = e^0.5t

(e^0.5ty)′ = 7e^−2.5t

一般解

y = 7/(−2.5)·e^−3t + C·e^−0.5t = −2.8·e^−3t + C·e^−0.5t

初期条件

1 = −2.8 + C → C = 3.8

計算する

y(1.5) = −2.8·0.01111 + 3.8·0.4724 = 1.764

答え

y(1.5) = 1.764

11.数列と級数

答え: L = 2

項の累乗根

|a_k|^1/k = (4k + 3)/(2k + 3) → 4/2

結論

L = 2 > 1

答え

L = 2

L > 1 なので、級数は発散します。

12.数列と級数

答え: c₄ = 1

テイラー多項式：x = a の近くで、滑らかな関数は Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! で近似されます。a = 0 のときがマクローリン多項式です。標準的な級数：eˣ = Σxᵏ/k!、sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …、cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …、ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …、1/(1 − x) = Σxᵏ。ラグランジュの誤差評価：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!。ここで M は a と x の間での |f⁽ⁿ⁺¹⁾| の最大値です。

導関数 f⁽⁴⁾

f⁽⁴⁾(x) = 24/x⁵

係数

c₄ = 24/(1⁵·24) = 1

c₄ = 1

答え

c₄ = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-calculus-practice