AP Calculus の練習問題：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

極限

直接代入: まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
因数分解して約分: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共役な式: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
無限大での極限: x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
特別な極限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
ロピタルの定理: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

微分

べき乗の微分: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
積の法則: (uv)′ = u′v + uv′
商の微分法: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
連鎖律: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
主な導関数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

解き方

式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
整理し、指定があればその点での値を求めます。

最適化

解き方: Q(x) を 1 変数で表し、Q′(x) = 0 を解いて、Q″ または端点を調べる
最大値: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
最小値: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ふたのある円柱: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
利益: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

数列と級数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
無限等比級数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p 級数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比判定法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
収束半径: R = lim |c_k/c_k+1|
テイラー多項式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
マクローリン級数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ラグランジュの誤差評価: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

解き方

種類を見極めましょう：等差（一定の差）、等比（一定の比）、標準的な級数、べき級数、テイラー多項式。
和には Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)、または |r| < 1 のとき S = a₁/(1 − r) を使います。a₁ はその和の最初の項です。
収束については：まず第 n 項判定法、次に Σ1/kᵖ や等比級数との比較を行い、階乗や k 乗には比判定法か根判定法を使います。
テイラー多項式では、f(a)、f′(a)、f″(a)、… を並べ、第 k 階導関数を k! で割り、誤差を M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! で評価します。

2演習問題

1.極限ふつう

極限 L = lim_x→∞ (√(x² − 10x) − x) を求めなさい。

f(x) = √(x² − 10x) − xx → ∞

L =

2.極限むずかしい

極限 L = lim_x→0 (1 − cos 2x)/(3x²) を求めなさい。x の単位はラジアンとします。

f(x) = (1 − cos 2x)/(3x²)x → 0

L =

3.微分ふつう

f(x) = x²·e^x とします。f′(1) を求めなさい。

f(x) = x²·e^xx = 1

f′(1) =

4.微分むずかしい

f(x) = x³ − 1.5x² + 2 とします。極小点の x 座標 x を求めなさい。

f(x) = x³ − 1.5x² + 2

x =

5.最適化ふつう

1200 m² の長方形の土地の 4 辺すべてに柵を設けます。道路に面した長さ x の辺は 1 m あたり €30、ほかの 3 辺は 1 m あたり €10 かかります。総費用の最小値 C を求めなさい。

A = 1200 m²€30/m€10/m

C = €

6.最適化むずかしい

ある劇場では 1 公演あたり 2000 枚のチケットを 1 枚 €20 で販売しています。市場調査によると、チケット価格を €1 上げるごとに販売枚数は 50 枚減ります（€1 下げるごとに 50 枚増えます）。 1 公演あたりの最大売上高 R を求めなさい。

2000 × €2050 / €1

R = €

7.積分ふつう

I = ∫₀² 2x·(x² + 1)³ dx を計算しなさい。

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 2]

I =

8.積分むずかしい

y = 2x² と y = 2x で囲まれた部分の面積 A を求めなさい。

y = 2x²y = 2x

A =

9.微分方程式ふつう

85 °C のコーヒーを 20 °C の部屋に置いておきます。 10 分後の温度は 52 °C です。温度はニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) に従います。定数 k を min⁻¹ で求めなさい。

T₀ = 85 °CT_a = 20 °CT(10) = 52 °C

k = min⁻¹

10.微分方程式むずかしい

タンクに、塩 10 kg を溶かした水が 400 L 入っています。 1 L あたり 0.25 kg の塩を含む塩水が 5 L/min で流入し、よく混ざった溶液が同じ流量で流出します。タンク内の塩が 64 kg になるのは何分後 t ですか？

V = 400 Lm₀ = 10 kgc = 0.25 kg/Lr = 5 L/min

t = min

11.数列と級数ふつう

和 S = Σ_k=1^∞ 12/(k(k + 1)) を求めてください。

a_k = 12/(k(k + 1))

S =

12.数列と級数むずかしい

a = 1 のまわりでの f(x) = ln x のテイラー級数で、(x − 1)² の係数 c₂ を求めてください。

f(x) = ln xa = 1k = 2

c₂ =

3溶液

1.極限

答え: L = −5

極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。

共役な式を掛ける

f(x) = −10x/(√(x² − 10x) + x)

x で割る

f(x) = −10/(√(1 + (−10)/x) + 1)

x → ∞ とする

L = −10/(1 + 1) = −5

答え

L = −5

2.極限

答え: L = 0.6667

1 回目の適用

2·sin 2x/(6x) → 0/0

2 回目の適用

4·cos 2x/6

x = 0 を代入する

L = 4/6 = 0.6667

答え

L = 0.6667

3.微分

答え: f′(1) = 8.155

微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。

積の法則

f′(x) = u′v + uv′ = e^x·(2x + 1·x²)

代入する

f′(1) = 2.718·(2 + 1) = 8.155

答え

f′(1) = 8.155

4.微分

答え: x = 1

導関数

f′(x) = 3x² − 3x = 3·(x² − x)

f′(x) = 0 を解く

x = 0 または x = 1

どちらがどちらか

f″(x) = 6x − 3：極大では負、極小では正。

f″(0) = −3, f″(1) = 3

x = 1

答え

x = 1

5.最適化

答え: C = 1960 €

最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。

x の関数としての費用

C(x) = 40x + 24000/x

導関数をゼロとおく

C″(x) = 48000/x³ > 0 なので、これは最小です。

x = √(24000/40) = 24.49 m

y = 1200/24.49 = 48.99 m

最小費用

C = 40·24.49 + 24000/24.49 = €1960

答え

C = €1960

6.最適化

答え: R = 45000 €

価格の関数としての売上高

n(p) = 3000 − 50p

R(p) = 3000p − 50p²

導関数をゼロとおく

R″(p) = −100 < 0 なので、これは最大です。

p = 3000/100 = €30

最大売上高

n = 3000 − 50·30 = 1500

R = 30·1500 = €45000

答え

R = €45000

7.積分

答え: I = 156

定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。

置換積分

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u³ du

積分して代入する

I = [u⁴/4]₁⁵ = (625 − 1)/4 = 156

答え

I = 156

8.積分

答え: A = 0.3333

交点

2x² = 2x → x = 0, x = 1

上から下を引いて積分する

A = [x² − 0.6667x³]₀¹ = 0.3333

答え

A = 0.3333

9.微分方程式

答え: k = 0.07087 min⁻¹

1 階微分方程式：dy/dt = k·y の解は y = y₀·e^kt です（k > 0 なら増加、k < 0 なら減少）。半減期 T からは k = ln 2/T が得られます。ニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) からは T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt が得られます。線形方程式 y′ + p(x)·y = q(x) は積分因子 μ = e^{∫p dx} を使って解きます：(μy)′ = μq なので、μy = ∫μq dx + C です。

温度差の比

e^−10k = 32/65

k について解く

k = ln(65/32)/10 = 0.07087 min⁻¹

答え

k = 0.07087 min⁻¹

10.微分方程式

答え: t = 73.3 min

結果

m(t) = 100 + (−90)·e^−t/80

t について解く

e^−t/80 = (100 − 64)/(100 − 10) = 0.4

t = 80·ln(2.5) = 73.3 min

答え

t = 73.3 min

11.数列と級数

答え: S = 12

部分分数展開

12/(k(k + 1)) = 12·(1/k − 1/(k + 1))

キャンセル

S = 12·1 = 12

答え

S = 12

12.数列と級数

答え: c₂ = −0.5

テイラー多項式：x = a の近くで、滑らかな関数は Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! で近似されます。a = 0 のときがマクローリン多項式です。標準的な級数：eˣ = Σxᵏ/k!、sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …、cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …、ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …、1/(1 − x) = Σxᵏ。ラグランジュの誤差評価：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!。ここで M は a と x の間での |f⁽ⁿ⁺¹⁾| の最大値です。

導関数 f⁽²⁾

f⁽²⁾(x) = −1/x²

係数

c₂ = f⁽²⁾(1)/2! = −1/(1²·2) = −0.5

c₂ = −0.5

答え

c₂ = −0.5

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