AP Physics 1 の練習問題：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

2演習問題

1.運動学ふつう

一定の 33 m/s でスピード違反をしている車が、停車中のパトカーの横を通過する。その瞬間、パトカーが発進し、4.5 m/s² で一様に加速する。パトカーが追いつくまでの時間はどれだけか。t を求めよ。

v_car = 33 m/sa_police = 4.5 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.運動学むずかしい

地面から高さ 5 m の屋上の端から、ボールを 19 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 19 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 50 kg の箱を、水平と 40° をなす斜面に平行な力で、斜面を一定の速さで押し上げる。動摩擦係数は 0.1 である。g = 9.81 m/s² とする。押す力 F を求めよ。

m = 50 kgθ = 40°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

F = N

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 5.5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 5 kgm₂ = 5.5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 16 m/s、水平から 55° 上向きに、17 m 先の壁に向かって蹴る。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールはどの高さ y で壁を通過するか。

v₀ = 16 m/sθ = 55°x = 17 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 30 m の崖の上から水平から 45° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 14 m/sθ = 45°h = 30 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.円運動ふつう

車が半径 100 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.4、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 100 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

小さな台車を摩擦のない軌道上で静かに放し、半径 6 m の鉛直なループに進入させる。ループの最高点で軌道から離れないためには、ループの最下点から最低どれだけの高さ h_min から出発しなければならないか。

R = 6 mv₀ = 0

h_min = m

9.仕事とエネルギーふつう

ブロックが水平と 25° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.3 である。斜面に沿って 9 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 25°μ = 0.3d = 9 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 4 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 2 m から静かに放す。下で長さ 2.5 m の粗い水平区間（μ = 0.15）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 800 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 4 kgh = 2 mL = 2.5 mμ = 0.15k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.運動量と衝突ふつう

水平に 31 m/s で動いている質量 16 kg の物体が、同じ直線上を動く 2 つの破片に爆発する。質量 15 kg の破片は前向きに 50 m/s で進み続ける。質量 1 kg の破片の速度 v′₂ を求めよ（元の向きを正とする）。

M = 16 kgu = 31 m/sm₁ = 15 kgv′₁ = 50 m/sm₂ = 1 kg

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

交差点で、東向きに 20 m/s で走る質量 1400 kg の自動車が、北向きに 25 m/s で走る質量 800 kg の自動車と衝突する。2 台は一体となる。衝突直後の残骸の速さ v′ を求めよ。

m₁ = 1400 kgv₁ = 20 m/s (E)m₂ = 800 kgv₂ = 25 m/s (N)

v′ = m/s

13.ばねと振り子ふつう

k = 120 N/m のばねにつけた質量 2.1 kg のおもりを正の向きに 15 cm 引き、t = 0 に静かに放す。 t = 1 s での速度 v を符号をつけて求めよ。

m = 2.1 kgk = 120 N/mA = 15 cmt = 1 s

v = m/s

14.ばねと振り子むずかしい

k = 280 N/m の伸びていない鉛直なばねの下端に質量 2.3 kg のおもりをつけ、静かに放す。g = 9.81 m/s² とする。ばねの最大の伸び x_max を cm で求めよ。

m = 2.3 kgk = 280 N/mg = 9.81 m/s²

x_max = cm

3溶液

1.運動学

答え: t = 14.67 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

等しい距離

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·33/4.5 = 14.67 s

答え

t = 14.67 s

その瞬間、パトカーは 2v = 66 m/s で走っています。

2.運動学

答え: t = 4.121 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−5 = 19·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 19·t − 5 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (19 + √(19² + 2·9.81·5))/9.81 = 4.121 s

答え

t = 4.121 s

3.ニュートンの法則

答え: F = 352.9 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

斜面に沿った力

一定の速さ：力はつり合っています。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

押す力

F = 315.3 + 37.57 = 352.9 N

答え

F = 352.9 N

4.ニュートンの法則

答え: T = 30.83 N

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53.96 − 9.81)/10.5 = 4.204 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 5·4.204 + 9.81 = 30.83 N

答え

T = 30.83 N

5.放物運動

答え: y = 7.447 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

壁までの時間

v_x = 16·cos 55° = 9.177 m/s

t = x/v_x = 17/9.177 = 1.852 s

その時刻での高さ

y = 13.11·1.852 − ½·9.81·1.852² = 7.447 m

答え

y = 7.447 m

壁の位置では、ボールはすでに下降中です。

6.放物運動

答え: x = 36.43 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 45° = 9.899 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 45° = 9.899 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 30 + 9.899·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9.899 + √(98 + 588.6))/9.81 = 3.68 s

水平距離

x = v_x·t = 9.899·3.68 = 36.43 m

答え

x = 36.43 m

7.円運動

答え: v_max = 19.81 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·100) = 19.81 m/s

答え

v_max = 19.81 m/s (71.31 km/h)

8.円運動

答え: h_min = 15 m

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

最高点での条件

m·g = m·v²/R → v² = g·R

エネルギー保存

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2.5·R = 2.5·6 = 15 m

答え

h_min = 15 m

9.仕事とエネルギー

答え: v = 5.159 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·9·(0.4226 − 0.3·0.9063)) = 5.159 m/s

答え

v = 5.159 m/s

10.仕事とエネルギー

答え: x = 39.93 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 39.24·(2 − 0.15·2.5) = 63.77 J

最大縮み

½kx² = 63.77 → x = √(2·63.77/800) = 0.3993 m = 39.93 cm

答え

x = 39.93 cm

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = −254 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突前の運動量

p = M·u = 16·31 = 496 kg·m/s

衝突後の運動量

496 = 15·50 + 1·v′₂

v′₂ = (496 − 750)/1 = −254 m/s

答え

v′₂ = −254 m/s

マイナス符号は、2 つ目の破片が後ろ向きに飛ぶことを意味します。

12.運動量と衝突

答え: v′ = 15.64 m/s

運動量の成分

p_x = 1400·20 = 28000 kg·m/s

p_y = 800·25 = 20000 kg·m/s

残骸の速さ

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 34409/2200 = 15.64 m/s

答え

v′ = 15.64 m/s

13.ばねと振り子

答え: v = −1.085 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角周波数

ω = √(120/2.1) = 7.559 rad/s

ω·t = 7.559·1 = 7.559 rad

速度

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.15·7.559·sin(7.559) = −1.085 m/s

答え

v = −1.085 m/s

14.ばねと振り子

答え: x_max = 16.12 cm

つり合いの位置と振幅

x₀ = m·g/k = 2.3·9.81/280 = 0.08058 m = A

最下点

x_max = 2A = 0.1612 m = 16.12 cm

答え

x_max = 16.12 cm

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