AP Physics 1 の練習問題：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

2演習問題

1.運動学ふつう

飛行機が静止状態から滑走路に沿って 2.5 m/s² で一様に加速する。600 m 進んだ後の速さ v を求めよ。

v₀ = 0a = 2.5 m/s²s = 600 m

v = m/s

2.運動学むずかしい

路面電車が静止状態から 3 m/s² で 8 s 加速し、次に 14 s 等速で走り、最後に 3 m/s² でブレーキをかけて停止する。全所要時間 t を求めよ。

a₁ = 3 m/s²t₁ = 8 st₂ = 14 sa₃ = −3 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 3 kg のブロックが、水平と 25° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.3 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 3 kgθ = 25°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 8.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 6 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 8.5 kgm₂ = 6 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 22 m/s、水平から 25° 上向きに、11 m 先の壁に向かって蹴る。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールはどの高さ y で壁を通過するか。

v₀ = 22 m/sθ = 25°x = 11 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 60 m の崖の上から水平から 20° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 30 m/sθ = 20°h = 60 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.円運動ふつう

自動車が、半径 60 m の円弧になっている道路の盛り上がりの頂上を通過する。g = 9.81 m/s² とする。どの速さ v_max を超えると、頂上で車輪が路面から離れるか。

r = 60 mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

長さ 0.5 m の軽い糸につけた質量 1 kg の球を鉛直な円を描くように回す。最下点での速さは 8 m/s である。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。最高点での糸の張力 T_top を求めよ。

m = 1 kgr = 0.5 mv_bottom = 8 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.仕事とエネルギーふつう

質量 1 kg の小球が長さ 0.5 m の軽い糸につり下げられている。糸が鉛直と 20° をなすまで横に引き、静かに放す。小球が最下点を通過するときの糸の張力 T を求めよ。

m = 1 kgL = 0.5 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

T = N

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 10 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 1.5 m から静かに放す。下で長さ 3.5 m の粗い水平区間（μ = 0.25）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 5000 N/m）に当たる。ブロックがばねに達したときの速さ v を求めよ。

m = 10 kgh = 1.5 mL = 3.5 mμ = 0.25k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、6 m/s で動く質量 2 kg のグライダーが、静止している質量 3 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 2 kgm₂ = 3 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.25 kg のボールが 29 m/s で壁に当たり、20 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 5 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.25 kgv_in = 29 m/sv_out = 20 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

13.ばねと振り子ふつう

周期が 2.4 s になる単振り子の長さはいくらか。g = 9.81 m/s² として、L を求めよ。

T = 2.4 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.ばねと振り子むずかしい

k = 130 N/m の伸びていない鉛直なばねの下端に質量 0.2 kg のおもりをつけ、静かに放す。g = 9.81 m/s² とする。おもりの最大の速さ v_max を求めよ。

m = 0.2 kgk = 130 N/mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

3溶液

1.運動学

答え: v = 54.77 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

その距離を進んだ後の速さ

v = √(2·a·s) = √(2·2.5·600) = 54.77 m/s

答え

v = 54.77 m/s

(197.2 km/h)

2.運動学

答え: t = 30 s

最高速度

v = a₁·t₁ = 3·8 = 24 m/s

制動時間

t₃ = v/a₃ = 24/3 = 8 s

合計時間

t = 8 + 14 + 8 = 30 s

答え

t = 30 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 1.479 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.3·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.2719) = 1.479 m/s²

答え

a = 1.479 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 2.622 m/s²

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58.86 − 20.85)/14.5 = 2.622 m/s²

答え

a = 2.622 m/s²

5.放物運動

答え: y = 3.636 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

壁までの時間

v_x = 22·cos 25° = 19.94 m/s

t = x/v_x = 11/19.94 = 0.5517 s

その時刻での高さ

y = 9.298·0.5517 − ½·9.81·0.5517² = 3.636 m

答え

y = 3.636 m

壁の位置では、ボールはまだ上昇中です。

6.放物運動

答え: t = 4.696 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 20° = 28.19 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 20° = 10.26 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 60 + 10.26·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10.26 + √(105.3 + 1177))/9.81 = 4.696 s

答え

t = 4.696 s

7.円運動

答え: v_max = 24.26 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

垂直抗力 0

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·60) = 24.26 m/s

答え

v_max = 24.26 m/s

(87.34 km/h)

8.円運動

答え: T_top = 78.95 N

最高点での速さ

高さ 2r の間に運動エネルギーが位置エネルギーに変わります。

v_top² = 8² − 4·9.81·0.5 = 44.38 m²/s²

最高点での力

張力と重力はどちらも下向き、つまり中心に向かっています。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1·44.38/0.5 − 1·9.81 = 78.95 N

答え

T_top = 78.95 N

9.仕事とエネルギー

答え: T = 10.99 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最下点での速さ

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·0.5·(1 − cos 20°) = 0.5916 m²/s²

最下点での力

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

T = mg + mv²/L = 9.81 + 1·0.5916/0.5 = 10.99 N

答え

T = 10.99 N

確認：T = mg(3 − 2cos θ) = 10.99 N。

10.仕事とエネルギー

答え: v = 3.502 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 98.1·(1.5 − 0.25·3.5) = 61.31 J

ばねに達したときの速さ

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·0.625) = 3.502 m/s

答え

v = 3.502 m/s

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = 4.8 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (2 − 3)/(2 + 3)·6 = −1.2 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 3)·6 = 4.8 m/s

答え

v′₂ = 4.8 m/s

12.運動量と衝突

答え: J = 12.25 N·s

運動量の変化

J = m·Δv = 0.25·(20 + 29) = 12.25 N·s

答え

J = 12.25 N·s

13.ばねと振り子

答え: L = 1.431 m

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

長さを求める

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.4/2π)² = 1.431 m

答え

L = 1.431 m

14.ばねと振り子

答え: v_max = 0.3848 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

つり合いの位置と振幅

x₀ = m·g/k = 0.2·9.81/130 = 0.01509 m = A

最大の速さ

速さはつり合いの位置で最大になります。

ω = √(130/0.2) = 25.5 rad/s

v_max = A·ω = 0.01509·25.5 = 0.3848 m/s

答え

v_max = 0.3848 m/s

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