AP Physics 1 の練習問題：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

2演習問題

1.運動学ふつう

80 km/h で走っている運転者が障害物を見つける。反応時間は 0.9 s で、その後、自動車は一定の減速度 6 m/s² でブレーキをかける。障害物を見た瞬間からの全停止距離 d を求めよ。

v₀ = 80 km/ht_r = 0.9 sa = −6 m/s²

d = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 35 m の屋上の端から、ボールを 9 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 9 m/sh₀ = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 5 kg の箱を、水平と 40° をなす斜面に平行な力で、斜面を一定の速さで押し上げる。動摩擦係数は 0.3 である。g = 9.81 m/s² とする。押す力 F を求めよ。

m = 5 kgθ = 40°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

F = N

4.ニュートンの法則むずかしい

30° の斜面上にある質量 1.5 kg のブロックが、斜面の上端にある摩擦のない滑車を通る軽い糸で、つり下げられた質量 7.5 kg のおもりにつながれている。つり下げられたおもりは下向きに動く。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 7.5 kgθ = 30°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 24 m/s、水平から 65° 上向きに、13 m 先の壁に向かって蹴る。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールはどの高さ y で壁を通過するか。

v₀ = 24 m/sθ = 65°x = 13 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 5 m の崖の上から水平から 50° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 35 m/sθ = 50°h = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.円運動ふつう

車が半径 135 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.8、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 135 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

半径 190 m のカーブに 15° のバンクがついており、タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.25 である。g = 9.81 m/s² とする。自動車が外側上方へすべり出さずにカーブを通過できる最高の速さ v_max を求めよ。

r = 190 mθ = 15°μ_s = 0.25g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.仕事とエネルギーふつう

質量 4 kg のブロックが水平と 45° をなす斜面を 16 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.15 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 4 kgθ = 45°μ = 0.15d = 16 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 4 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 1.5 m から静かに放す。下で長さ 1.5 m の粗い水平区間（μ = 0.1）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 500 N/m）に当たる。ブロックがばねに達したときの速さ v を求めよ。

m = 4 kgh = 1.5 mL = 1.5 mμ = 0.1k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.運動量と衝突ふつう

質量 8 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 5 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 5 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 8 gM = 5 kgh = 5 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.15 kg のボールが 22 m/s で壁に当たり、11 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 20 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.15 kgv_in = 22 m/sv_out = 11 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

13.ばねと振り子ふつう

周期が 1 s になる単振り子の長さはいくらか。g = 9.81 m/s² として、L を求めよ。

T = 1 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.ばねと振り子むずかしい

k = 260 N/m のばねにつけた質量 1 kg の物体を、つり合いの位置から 20 cm 引いて静かに放す。最大の加速度 a_max を求めよ。

m = 1 kgk = 260 N/mA = 20 cm

a_max = m/s²

3溶液

1.運動学

答え: d = 61.15 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

単位

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

空走距離

d₁ = v₀·t_r = 22.22·0.9 = 20 m

制動距離

d₂ = v₀²/(2a) = 22.22²/(2·6) = 41.15 m

合計

d = 20 + 41.15 = 61.15 m

答え

d = 61.15 m

2.運動学

答え: t = 3.742 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−35 = 9·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 9·t − 35 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (9 + √(9² + 2·9.81·35))/9.81 = 3.742 s

答え

t = 3.742 s

3.ニュートンの法則

答え: F = 42.8 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

斜面に沿った力

一定の速さ：力はつり合っています。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

押す力

F = 31.53 + 11.27 = 42.8 N

答え

F = 42.8 N

4.ニュートンの法則

答え: T = 21.05 N

糸に沿った力

m₂·g = 73.58 N

m₁·g·sin θ = 7.357 N

μ·m₁·g·cos θ = 3.186 N

系の加速度

a = (73.58 − 7.357 − 3.186)/9 = 7.004 m/s²

つり下げられたおもりから求める張力

m₂·g − T = m₂·a → T = 7.5·(9.81 − 7.004) = 21.05 N

答え

T = 21.05 N

5.放物運動

答え: y = 19.82 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

壁までの時間

v_x = 24·cos 65° = 10.14 m/s

t = x/v_x = 13/10.14 = 1.282 s

その時刻での高さ

y = 21.75·1.282 − ½·9.81·1.282² = 19.82 m

答え

y = 19.82 m

壁の位置では、ボールはまだ上昇中です。

6.放物運動

答え: t = 5.647 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 35·cos 50° = 22.5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 35·sin 50° = 26.81 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 5 + 26.81·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (26.81 + √(718.9 + 98.1))/9.81 = 5.647 s

答え

t = 5.647 s

7.円運動

答え: v_max = 32.55 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.8·9.81·135) = 32.55 m/s

答え

v_max = 32.55 m/s (117.2 km/h)

8.円運動

答え: v_max = 32.17 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力のつり合い

摩擦は斜面を下る向きです。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速さ

v = √(190·9.81·0.5003/0.9012) = 32.17 m/s

答え

v_max = 32.17 m/s

(115.8 km/h)

9.仕事とエネルギー

答え: W_f = 66.59 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 39.24·0.7071 = 27.75 N

F = μN = 0.15·27.75 = 4.162 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 4.162·16 = 66.59 J

答え

W_f = 66.59 J

10.仕事とエネルギー

答え: v = 5.147 m/s

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 39.24·(1.5 − 0.1·1.5) = 52.97 J

ばねに達したときの速さ

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·1.35) = 5.147 m/s

答え

v = 5.147 m/s

11.運動量と衝突

答え: v = 620 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.05) = 0.9905 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.008 + 5)·0.9905/0.008 = 620 m/s

答え

v = 620 m/s

12.運動量と衝突

答え: F_avg = 247.5 N

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

運動量の変化

J = m·Δv = 0.15·(11 + 22) = 4.95 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 4.95/0.02 = 247.5 N

答え

F_avg = 247.5 N

13.ばねと振り子

答え: L = 0.2485 m

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

長さを求める

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1/2π)² = 0.2485 m

答え

L = 0.2485 m

14.ばねと振り子

答え: a_max = 52 m/s²

角周波数

ω = √(260/1) = 16.12 rad/s

最大の加速度

a_max = A·ω² = 0.2·16.12² = 52 m/s²

答え

a_max = 52 m/s²

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