運動学
- 速度
- v = v0 + a·t
- 変位
- s = v0·t + ½·a·t²
- 時間を含まない式
- v² = v0² + 2·a·s
- 単位
- 1 m/s = 3.6 km/h
解き方
- わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
- わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
- 正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
- 解いて、答えが物理的に妥当か確認します。
AP Physics 1 の練習問題：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
ニュートンの法則
- 第 2 法則
- ΣF = m·a
- 重力
- W = m·g
- 動摩擦
- Ff = μ·N
- 斜面上
- 斜面方向：m·g·sin θ、 垂直方向：m·g·cos θ
解き方
- 物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
- 運動の向きに沿って正の向きを決めます。
- 力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
- 運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。
放物運動
- 成分
- vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
- 位置
- x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
- 最高点の高さ
- H = h + vy²/(2g)
- 水平到達距離（水平な地面）
- R = v0²·sin 2θ/g
解き方
- 初速度を成分に分けます：vx = v₀·cos θ、vy = v₀·sin θ。
- 水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
- 鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
- その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。
円運動
- 向心加速度
- a = v²/r = ω²·r
- 向心力
- F = m·v²/r
- 角速度
- ω = v/r = 2π/T
- 平らなカーブ、摩擦
- vmax = √(μ·g·r)
仕事とエネルギー
- 運動エネルギー
- Ek = ½mv²
- 位置エネルギー
- Ep = mgh
- エネルギー収支
- Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
- 摩擦力がする仕事
- W = μ·N·d
- 電力
- P = W/t
運動量と衝突
- 運動量
- p = m·v
- 保存則
- Σm·v (before) = Σm·v (after)
- 完全非弾性
- v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
- 力積
- J = F·Δt = m·Δv
解き方
- 正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
- 衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
- 完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
- 衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。
ばねと振り子
- ばね振り子
- T = 2π·√(m/k)
- 単振り子
- T = 2π·√(L/g)
- 角周波数
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 最大の速さと最大の加速度
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- エネルギー
- E = ½·k·A²
2演習問題
1.運動学ふつう
60 km/h で走っている運転者が障害物を見つける。反応時間は 0.9 s で、その後、自動車は一定の減速度 5.5 m/s² でブレーキをかける。障害物を見た瞬間からの全停止距離 d を求めよ。
v₀ = 60 km/htr = 0.9 sa = −5.5 m/s²
d = m
2.運動学むずかしい
地面から高さ 5 m の屋上の端から、ボールを 10 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。 地面からの最高点の高さ hmax を求めよ。
v₀ = 10 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²
hmax = m
3.ニュートンの法則ふつう
質量 35 kg のそりを、水平から 25° 上向きのロープで、120 N の力で水平な雪の上を引く。動摩擦係数は 0.3 である。g = 9.81 m/s² とする。そりの加速度 a を求めよ。
m = 35 kgF = 120 Nθ = 25°μ = 0.3g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.ニュートンの法則むずかしい
水平な机の上にある質量 4 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 0.5 kg のおもりとつながれている。 机の面はなめらかである。 g = 9.81 m/s² とする。 糸の張力 T を求めよ。
m1 = 4 kgm2 = 0.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²
T = N
5.放物運動ふつう
水平な地面からボールを 34 m/s で打ち出し、100 m 先に着地させなければならない。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。2 つの可能な打ち出し角のうち小さい方 θ を求めよ。
v₀ = 34 m/sR = 100 mg = 9.81 m/s²
θ = °
6.放物運動むずかしい
高さ 60 m のがけの上から、ボールを 11 m/s、水平から 45° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。がけのふもとの地面からの最高の高さ H を求めよ。
v₀ = 11 m/sθ = 45°h = 60 mg = 9.81 m/s²
H = m
7.円運動ふつう
車が半径 30 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.7、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ vmax を求めよ。
r = 30 mμs = 0.7g = 9.81 m/s²
vmax = m/s
8.円運動むずかしい
質量 1.9 kg のボールを長さ 1.4 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さは 8.5 m/s である。g = 9.81 m/s² とする。最下点での糸の張力 T を求めよ。
m = 1.9 kgr = 1.4 mv = 8.5 m/sg = 9.81 m/s²
T = N
9.仕事とエネルギーふつう
ブロックが水平と 30° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.2 である。斜面に沿って 11 m すべった後の速さ v を求めよ。
θ = 30°μ = 0.2d = 11 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
10.仕事とエネルギーむずかしい
質量 1 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 4.5 m から静かに放す。下で長さ 5 m の粗い水平区間（μ = 0.25）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 1500 N/m）に当たる。 ばねの最大縮み x を求めよ。
m = 1 kgh = 4.5 mL = 5 mμ = 0.25k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²
x = cm
11.運動量と衝突ふつう
21 m/s で動いている質量 1700 kg の自動車が、静止している質量 1100 kg の自動車に衝突し、2 台は一体となる。 衝突で失われる運動エネルギー ΔK はどれだけか。
m1 = 1700 kgv1 = 21 m/sm2 = 1100 kgv2 = 0
ΔK = J
12.運動量と衝突むずかしい
質量 8 g の弾丸を、長さ 1.9 m の軽い糸でつり下げた質量 3 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。糸は鉛直から最大 30° まで振れる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。
m = 8 gM = 3 kgL = 1.9 mθ = 30°g = 9.81 m/s²
v = m/s
13.ばねと振り子ふつう
長さ 2.2 m の単振り子がある。g = 9.81 m/s² とする。小さな振れ幅での周期 T を求めよ。
L = 2.2 mg = 9.81 m/s²
T = s
14.ばねと振り子むずかしい
k = 250 N/m のばねにつけたおもりが、摩擦のない面上で振幅 7 cm で振動する。 おもりがつり合いの位置から 6 cm のところにあるときにばねに蓄えられているエネルギー U を求めよ。
k = 250 N/mA = 7 cmx = 6 cm
U = J
3溶液
1.運動学
答え: d = 40.25 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
単位
v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s
空走距離
d1 = v₀·tr = 16.67·0.9 = 15 m
制動距離
d2 = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·5.5) = 25.25 m
合計
d = 15 + 25.25 = 40.25 m
答え
d = 40.25 m
2.運動学
答え: hmax = 10.1 m
等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。
屋上からの上昇距離
0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 10²/(2·9.81) = 5.097 m
地面からの高さ
hmax = 5 + 5.097 = 10.1 m
答え
hmax = 10.1 m
3.ニュートンの法則
答え: a = 0.599 m/s²
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
垂直抗力
N = m·g − F·sin θ = 343.4 − 120·sin 25° = 292.6 N
水平方向の力
m·a = F·cos θ − μ·N = 108.8 − 87.79
a = 20.97/35 = 0.599 m/s²
答え
a = 0.599 m/s²
4.ニュートンの法則
答え: T = 4.36 N
ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。
系の加速度
a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (4.905 − 0)/4.5 = 1.09 m/s²
机の上のブロックから求める張力
T − μ·m1·g = m1·a
T = 4·1.09 + 0 = 4.36 N
答え
T = 4.36 N
5.放物運動
答え: θ = 29.03 °
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
水平到達距離の式
R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·100/34² = 0.8486
位相角
2θ = 58.06° → θ = 29.03°
答え
θ = 29.03°
もう 1 つの解は 90° − θ = 60.97° です。
6.放物運動
答え: H = 63.08 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
鉛直方向の初速
vy = 11·sin 45° = 7.778 m/s
がけの上からの上昇高さ
Δh = vy²/(2g) = 7.778²/(2·9.81) = 3.084 m
地面からの高さ
H = 60 + 3.084 = 63.08 m
答え
H = 63.08 m
7.円運動
答え: vmax = 14.35 m/s
等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。
摩擦力が向心力になる
m·v²/r = μ·m·g
v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·30) = 14.35 m/s
答え
vmax = 14.35 m/s (51.67 km/h)
8.円運動
答え: T = 116.7 N
等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。
最下点での力
中心向き（上向き）を正とします。
T − m·g = m·v²/r
T = 1.9·9.81 + 1.9·8.5²/1.4 = 18.64 + 98.05 = 116.7 N
答え
T = 116.7 N
9.仕事とエネルギー
答え: v = 8.398 m/s
仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。
斜面に沿ったエネルギー収支
ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。
½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)
v = √(2·9.81·11·(0.5 − 0.2·0.866)) = 8.398 m/s
答え
v = 8.398 m/s
10.仕事とエネルギー
答え: x = 20.62 cm
仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。
粗い区間を通過した後のエネルギー
スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。
mgh − μmgL = 9.81·(4.5 − 0.25·5) = 31.88 J
最大縮み
½kx² = 31.88 → x = √(2·31.88/1500) = 0.2062 m = 20.62 cm
答え
x = 20.62 cm
11.運動量と衝突
答え: ΔK = 147263 J
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
共通の速度
v′ = m1·v1/(m1 + m2) = 1700·21/2800 = 12.75 m/s
衝突前後の運動エネルギー
Kbefore = ½·1700·21² = 374850 J
Kafter = ½·2800·12.75² = 227588 J
失われたエネルギー
ΔK = 374850 − 227588 = 147263 J
答え
ΔK = 147263 J
失われたエネルギーは変形、熱、音になります。
12.運動量と衝突
答え: v = 840.3 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
木片の上昇
h = L·(1 − cos θ) = 1.9·(1 − cos 30°) = 0.2546 m
衝突後の速さ
V = √(2·9.81·0.2546) = 2.235 m/s
衝突
v = (m + M)·V/m = 3.008·2.235/0.008 = 840.3 m/s
答え
v = 840.3 m/s
13.ばねと振り子
答え: T = 2.975 s
単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。
振り子の周期
T = 2π·√(2.2/9.81) = 2.975 s
答え
T = 2.975 s
14.ばねと振り子
答え: U = 0.45 J
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
全エネルギー
E = ½·k·A² = ½·250·0.07² = 0.6125 J
x でのばねのエネルギー
U = ½·k·x² = ½·250·0.06² = 0.45 J
答え
U = 0.45 J
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